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Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

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Enunciado

Livro Halliday, Volume 1, 8ª edição, Capítulo 10, Seção 7, Exercício 39

(Cap 10 – Ex 39) Na Fig. 10-36, duas partículas, ambas de massa m = 0,85   k g , estão ligadas uma à outra, e a um eixo de rotação em O , por duas barras finas, ambas de comprimento d = 5,6   c m e massa M = 1,2   k g . O conjunto gira em orno do eixo de rotação com velocidade angular ω = 0,30   r a d / s . Em relação a O , quais são

a) o momento de inérica do conjunto e

b) a energia cinética do conjunto?

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

Para calular o momento do inérica, que é massa multiplicada pela distância ao quadrado, precisamos lembrar de como calcular o momento de inérica de uma massa m em relação a um eixo. Para isso temos:

I = I C M + M h 2

Lembrando que h é a distância perpendicular entre o eixo e o centro de massa.

Levando em consideração a forma geométrica da barra, vamos obter:

I b a r r a = 1 12 M L 2

Como são duas barras e duas massas, para calcular então o momento de inérica, logo:

I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4

Passo 2

Para I 1 , que seria o momento de inércia da primeira barra, temos:

I 1 = 1 12 M d 2 + M 1 2 d 2

Já para I 2 , que seria o momento de inércia da primeira massa, temos:

I 2 = m d 2

Agora para I 3 , que seria o momento de inércia da segunda barra, e a distância do eixo de rotação aumenta, vamos ter que

I 3 = 1 12 M d 2 + M 3 2 d 2

E para I 4 , que seria o momento de inércia da segunda massa, e está localizada na extremidade da barra, obtemos:

I 4 = m ( 2 d ) 2

Passo 3

Juntando tudo e substituindo os valores apresentados no problema para as barras, ficamos assim:

I b a r r a s = I 1 + I 3

I b a r r a s = 1 12 M d 2 + M 1 2 d 2 + 1 12 M d 2 + M 3 2 d 2

I b a r r a s = 8 3 M d 2

Logo:

I b a r r a s = 8 3 1,2 0,056 2

I b a r r a s = 0,0100352

Juntando tudo e substituindo os valores apresentados no problema para as massas, teremos que:

I m a s s a s = I 2 + I 4

I m a s s a s = m d 2 + m 2 d 2

I m a s s a s = 5 m d 2

Tal que:

I m a s s a s = 5 ( 0,85 ) 0,056 2

I m a s s a s = 0,013328

Isso quer dizer que o momento de inércia total é dado comoa soma dessaes dois momentos separados, de forma que:

I = I b a r r a s   + I m a s s a s

I = 0,0100352 + 0,013328

I = 0,023   k g . m 2

Passo 4

Para a energia cinética, neste caso, fica assim:

K = 1 2 I ω 2

Como já foi encontrado o valor do momento de inércia no ítem (a), é só a gente substituir ele na fórmula, tal que:

K = 1 2 ( 0,02336 ) 0,30 2

K = 1,1 × 10 - 3   j

K = 11   m J

Isso é a Física! Doce como o mel...

Para essa questão é isso pessoal! Bora resolver mais uma?

Resposta

a) I = 0,023   k g . m 2

b) K = 11   m J

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