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Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

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Enunciado

Um pêndulo (vide figura) possui uma haste de comprimento L e massa M . Em sua extremidade inferior há um disco de massa m D = 2 M e raio R   =   L / 4 , cuja borda está colada na extremidade inferior da haste. A extremidade superior da haste pode girar em torno de um eixo sem atrito que permite o conjunto haste-disco oscilar.

Haste: I C M = 1 12 m l 2 ; Disco: I C M = 1 2 m R 2

a) Obtenha uma expressão literal para o momento de inércia I H D do conjunto haste-disco em relação à extremidade superior da haste.

Passo 1

O momento de inércial do conjunto será a soma dos momentos de inércia da haste e do disco, ambos com relação ao eixo da extremidade superior da barra:

I H D = I H + I D

Vamos calcular cada um desses momentos de inércia.

Passo 2

Sabemos que o momento de inércia de uma haste com relação à um eixo perpendicular passando pelo seu centro de massa é:

Porém, o eixo está passando pela extremidade da barra.

Então, vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I H = I C M + m d 2

A distância d entre os eixos será metado do comprimento da haste:

I H = 1 12 M L 2 + M L 2 2

I H = M L 2 1 12 + 1 4

I H = M L 2 3

Passo 3

O momento de inércia de um disco com relação a um eixo passando pelo seu centro de massa é:

I C M = 1 2 m R 2

Porém, novamente, o nosso eixo não está passando pelo centro de massa do disco, então vamos usar o teorema dos eixos paralelos de novo.

I D = I C M + m d 2

I D = 1 2 2 M R 2 + 2 M d 2

I D = M R 2 + 2 M d 2

Quanto vale a distância d entre os eixos?

d = L + R

d = L + L 4

d = 5 L 4

Então, temos:

I D = M L 4 2 + 2 M 5 L 4 2

I D = M L 2 16 + M L 2 16 2 × 25

I D = 51 M L 2 16

Passo 4

Agora, basta somarmos os momentos de inércia:

I H D = I L + I H

I H D = M L 2 3 + 51 M L 2 16

I H D = 1 3 + 51 16 M L 2

I H D = 16 48 + 153 48 M L 2

I H D = 169 48 M L 2

Resposta

(a)

I H D = 169 48 M L 2

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