Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

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Enunciado

O momento de inércia de uma barra reta homogênea em relação a um eixo perpendicular a ela e ao plano do papel e que passa pelo seu centro de massa vale I . Num dado instante a barra é dobrada em torno de seu ponto médio de maneira que assuma a forma de um “V” cujo ângulo de abertura é θ . O momento de inércia da barra dobrada em relação ao mesmo eixo é

(a) I

(b) I sen 2 ⁡ θ

(c) I cos 2 ⁡ θ

(d) 2 I

(e) I / 2

Passo 1

A gente calcula o momento de inércia fazendo

I = m a s s a ⋅ d i s t â n c i a 2 ,

pra uma partícula, ou

I = ∫ d i s t â n c i a 2 d m ,

pra um corpo extenso.

A ideia é que o momento de inércia é proporcional à massa e ao quadrado da distância dessa massa ao eixo.

Passo 2

Vamos considerar um pedacinho da barra, uma partícula de massa m e distância ao eixo d :

Então o momento de inércia dessa partícula em relação ao eixo é m d 2 .

Passo 3

Quando a barra dobra, a massa da partícula não muda, é claro. O lance é perceber que a distância ao eixo também não muda! Saca:

Passo 4

Isso significa que o momento de inércia da partícula em relação ao eixo continua o mesmo, valendo m d 2 . Pegamos uma partícula genérica da barra, então isso vale pra qualquer uma!

Portanto, o momento de inércia total da barra em relação ao eixo continua o mesmo, I .

Passo 5

Alternativa (a)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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