USP – Álgebra Linear – P2 2021 – Questão 11
Assuma orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em de base ortonormal e positiva.
Considere a reta de equação vetorial
E a reta de equação simétrica:
A distância entre as retas e é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Faaala pessoal, vamos lá pra mais uma?
Nessa questão, vamos falar sobre distância entre retas. Ele deu as equações da reta e da reta e aí vamos ter que encontrar a distância entre elas, demorou?
A primeira coisa que fazemos antes de calcular a distância entre retas é ver se elas são paralelas ou reversas. Para isso, é só vermos se o vetor diretor de é múltiplo do vetor diretor de . Se for múltiplo, as retas são paralelas.
E aí vemos qual das técnicas que vimos iremos usar para calcular a distância :P
Então vamos lá ver se as retas são paralelas ou reversas
Passo 2
Vamos começar encontrando os vetores diretores de e
A equação de foi dada assim:
Nesse formato de equação, temos o ponto + um parâmetro multiplicando o vetor diretor. Então sabemos que a reta tem vetor diretor
A equação de é dada assim
Nas equações simétricas, os valores do denominador formam as coordenadas do vetor diretor. Então, o vetor diretor de é
E olha só galera, não existe um tal que
Então, os vetores não são múltiplos. Logo, os vetores não são paralelos. As retas são reversas ok?
Passo 3
Como as retas são reversas, vamos calcular a distância entre elas usando essa fórmula:
Onde é o vetor que liga um ponto de a um ponto de . Além disso, é o produto misto entre esses 3 vetores.
Então vamos encontrar . Pela equação de , sabemos que ela passa pelo ponto , e pela equação de , ela passa pelo ponto
Então:
Showw, então agora vamos lá encontrar as informações para calcularmos a distância
Passo 4
O produto misto é dado por esse determinante:
Calculando o determinante:
Então
Passo 5
O produto vetorial é calculado assim:
Calculando o determinante:
Então:
Showw, esse é o produto vetorial! Agora vamos encontrar o módulo desse vetor, que é quem queremos:
Ebaa, então agora já temos as informações pra substituir na fórmula da distância
Passo 6
A distância entre as retas vai ser
Substituindo os valores que encontramos nos passos 4 e 5:
Show! Então a alternativa correta é a letra A 😊
Resposta
a)