Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

Ver Teoria
Exercício 91234567810111213141516171819202122232425

Enunciado

Calcular a distância entre as retas r : x = 2 + 2 t y = 3 + 4 t z = 5 + t e s : x = 2 + 2 h y = - 1 + 2 h z = - 3 + h

Passo 1

Vamos ver se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.

Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Vamos ver se isso é verdade!

Considerando   r → = ( 2 ,   4 ,   1 ) e   s → = ( 2 ,   2 ,   1 ) , temos:

2 ,   4,1 = α ( 2 ,   2 ,   1 )

Abrindo isso, temos:

2 = 2 α →   α = 1 4 = 2 α →   α = 2 1 = 1 α →   α = 1

Como os valores de α não são todos iguais as retas são reversas!!

Passo 2

Vamos resolver esse exercício usando a primeira opção de resolução para você ver que dá certo também!

Primeiro, escrevemos um ponto genérico para cada reta:

Para reta r → P = 2 + 2 t ,   3 + 4 t ,   5 + t

Para reta s → Q = ( 2 + 2 h ,   - 1 + 2 h ,   - 3 + h )

Bem, agora podemos calcular o vetor   P Q →

P Q → = 2 + 2 h ,   - 1 + 2 h ,   - 3 + h - 2 + 2 t ,   3 + 4 t ,   5 + t

P Q → = ( 2 h - 2 t ,   - 4 + 2 h - 4 t ,   - 8 + h - t )

Passo 3

Vamos fazer os produtos internos!

P Q → ∙ r → = 0 e   P Q → ∙ s → = 0

P Q → ∙ r → = 2 h - 2 t ,   - 4 + 2 h - 4 t ,   - 8 + h - t ∙ 2 ,   4 ,   1 = 0

P Q → ∙ r → = 13 h - 21 t - 24 = 0

P Q → ∙ s → = 2 h - 2 t ,   - 4 + 2 h - 4 t ,   - 8 + h - t ∙ 2 ,   2 ,   1 = 0

P Q → ∙ s → = 9 h - 13 t - 16 = 0

Montando um sisteminha para achar t e h :

13 h - 21 t = 24     ( I ) 9 h - 13 t = 16     ( I I )

De ( I I ) tiramos que h = 16 + 13 t 9 . Substituindo em ( I ) :

13 16 + 13 t 9 - 21 t = 24

Igualando os denominadores

208 + 169 t - 189 t = 216

t = - 2 5

Logo, h = 16 + 13 t 9 = 6 5 .

Com isso podemos achar P e Q !

P = 2 + 2 t ,   3 + 4 t ,   5 + t = 6 5 , 7 5 , 23 5

Q = 2 + 2 h ,   - 1 + 2 h ,   - 3 + h = 22 5 , 7 5 ,   - 9 5

Passo 4

Por fim, calculamos d ( P , Q )

d P , Q = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 6 5 - 22 5 2 + 7 5 - 7 5 2 + 23 5 - - 9 5 2 = 16 5 u . c

Resposta

16 5 u . c

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )