Calcular a distância entre as retas r : x = 2 + 2 t y = 3 + 4 t z = 5 + t e s : x = 2 + 2 h y = - 1 + 2 h z = - 3 + h

Passo 1

Vamos ver se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.

Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Vamos ver se isso é verdade!

Considerando   r → = ( 2 ,   4 ,   1 ) e   s → = ( 2 ,   2 ,   1 ) , temos:

2 ,   4,1 = α ( 2 ,   2 ,   1 )

Abrindo isso, temos:

2 = 2 α →   α = 1 4 = 2 α →   α = 2 1 = 1 α →   α = 1

Como os valores de α não são todos iguais as retas são reversas!!

Passo 2

Vamos resolver esse exercício usando a primeira opção de resolução para você ver que dá certo também!

Primeiro, escrevemos um ponto genérico para cada reta:

Para reta r → P = 2 + 2 t ,   3 + 4 t ,   5 + t

Para reta s → Q = ( 2 + 2 h ,   - 1 + 2 h ,   - 3 + h )

Bem, agora podemos calcular o vetor   P Q →

P Q → = 2 + 2 h ,   - 1 + 2 h ,   - 3 + h - 2 + 2 t ,   3 + 4 t ,   5 + t

P Q → = ( 2 h - 2 t ,   - 4 + 2 h - 4 t ,   - 8 + h - t )

Passo 3

Vamos fazer os produtos internos!

P Q → ∙ r → = 0 e   P Q → ∙ s → = 0

P Q → ∙ r → = 2 h - 2 t ,   - 4 + 2 h - 4 t ,   - 8 + h - t ∙ 2 ,   4 ,   1 = 0

P Q → ∙ r → = 13 h - 21 t - 24 = 0

P Q → ∙ s → = 2 h - 2 t ,   - 4 + 2 h - 4 t ,   - 8 + h - t ∙ 2 ,   2 ,   1 = 0

P Q → ∙ s → = 9 h - 13 t - 16 = 0

Montando um sisteminha para achar t e h :

13 h - 21 t = 24     ( I ) 9 h - 13 t = 16     ( I I )

De ( I I ) tiramos que h = 16 + 13 t 9 . Substituindo em ( I ) :

13 16 + 13 t 9 - 21 t = 24

Igualando os denominadores

208 + 169 t - 189 t = 216

t = - 2 5

Logo, h = 16 + 13 t 9 = 6 5 .

Com isso podemos achar P e Q !

P = 2 + 2 t ,   3 + 4 t ,   5 + t = 6 5 , 7 5 , 23 5

Q = 2 + 2 h ,   - 1 + 2 h ,   - 3 + h = 22 5 , 7 5 ,   - 9 5

Passo 4

Por fim, calculamos d ( P , Q )

d P , Q = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 6 5 - 22 5 2 + 7 5 - 7 5 2 + 23 5 - - 9 5 2 = 16 5 u . c

Resposta

16 5 u . c

Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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