UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – P2 – Questão 2
Considere as retas e .
- Determine a posição relativa entre as retas e .
- Calcule a distância entre as retas e .
Passo 1
- Pra gente ver a posição relativa entre as retas, a primeira coisa que a gente olha é o vetor diretor delas. No nosso caso, eles são diferentes, e então é linearmente independente, o que nos diz que e não são paralelas, ou seja, podem ser concorrentes ou reversas. Como a gente decide? Vamos pegar um vetor , que liga dois pontos das duas retas. A gente já tem dois pontos bem na nossa cara, né?
- A gente pode calcular a distância entre duas retas usando um artifício: a distância entre e é igual à distância de um ponto de até um plano , que contém a reta e é paralelo a . Sacou? A gente tem então que achar um plano que satisfaça essas condições! A equação de é então o produto misto de , e um vetor que liga o ponto da reta até um ponto genérico :
Então o nosso vetor vai ser:
Agora a gente faz o produto misto de , e . Por que disso? Porque se as retas forem concorrentes, os três estão no mesmo plano, e aí o produto misto vai dar zero. Caso contrário, o produto misto vai ser diferente de zero, e aí são reversas!
Como a gente viu aí em cima, o produto misto é diferente de zero, então as retas são reversas!
Passo 2
E então, a distância do ponto da reta até esse plano é:
Resposta
- As retas são reversas.
Exercícios de Livros Relacionados
Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )