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Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Enunciado

Álgebra linear I, USP, P2, 2016, Questão 12

Considere as retas reversas

r :   x - z = - 1 y - 2 z = - 2 ,     e               s : x - z = - 2 y + z = 1      

Se P = x 1 , y 1 , z 1 ∈ r e Q = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ s são os pontos tais que a distância de P a Q seja mínima, então x 1 + x 2 é igual a:

a ) - 5 6

b ) 1 5

c ) 1 6

d ) - 1 3

e ) 1 4

Passo 1

Falaaa, beleza?? Bora lá começar mais um probleminha dessa prova. Para começar vamos tentar melhorar os elementos da questão, no caso as retas, escrever as retas na forma parametrizada irá nos ajudar a visualizar o problema. Bora lá:

Para isso, vamos tomar x = t na reta r :

Da primeira equação temos que z = 1 + t , colocando isso na última temos que y = 2 t

Ou seja, temos que:

r :   t , 2 t , 1 + t = 0,0 , 1 + t 1,2 , 1 ,       t   ∈ R

Fazendo o mesmo para s , tomando x = t , temos que z = 2 + t e colocando isso na segunda equação temos y = - 1 - t , ou seja:

s :   t , - 1 - t , 2 + t = 0 , - 1,2 + t 1 , - 1,1 ,     t ∈ R

Passo 2

Agora, veja que pelo enunciado temos que os pontos P e Q são os que minimizam a distância, ou seja, podemos dizer que:

P Q → ⊥ r   e   P Q → ⊥ s

Além disso, dada a forma parametrizada, conseguimos achar os vetores diretores das retas, nós temos que v → = ( 1,2 , 1 ) e u → = ( 1 , - 1,1 ) são paralelos a r e s , respectivamente. Além disso, temos que:

Como P ∈ r   → P = t p , 2 t p , 1 + t p e Q ∈ s → Q = ( t q , - 1 - t q , 2 + t q )

E por isso temos que P Q → = Q - P = ( t q - t p ,   - 1 - t q - 2 t p ,   1 + t q - t p )

Passo 3

Vamos usar que P Q → ⊥ r   e   P Q → ⊥ s , analogamente P Q → ⊥ v →   e   P Q → ⊥ u → , ou seja:

P Q → , v →   = 0 P Q → , u →   = 0

Ou seja:

t q - t p + 2 - 1 - t q - 2 t p +   1 + t q - t p = 0 t q - t p -   - 1 - t q - 2 t p +   1 + t q - t p = 0

Ajustando:

6 t p = - 1 3 t q = - 2

Por isso:

t p =   - 1 6   e   t q = - 2 3

Como P = t p , 2 t p , 1 + t p e t q , - 1 - t q , 2 + t q , temos que x 1 + x 2 = t p + t q

Logo x 1 + x 2 =   - 1 6 - 2 3 = - 5 6

Assim chegamos ao fim de outro probleminha, bora para o próximo?

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
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