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Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Exercício 41235678910111213141516171819202122232425

Enunciado

Sendo r 1 : x + z - 2 = 0 y - 1 = 0 e r 2 : x - 2 y - 1 = 0 z - 1 = 0 . Calcular a distância entre elas.

Passo 1

Primeiro vamos organizar essas retas.

Começando com r 1 , temos que dois pontos são P 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ) e P 2 = ( 2 ,   1 ,   0 ) .

Com isso,   r 1 → = P 1 P 2 → = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) .

Assim,

r 1 : x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   1 + 1 ,   0 ,   - 1 t

Agora para r 2 ! Dois pontos são Q 1 = ( 1 ,   0 ,   1 ) e Q 2 = ( 3 ,   1 ,   1 ) e,

r 2 → = Q 1 Q 2 → = ( 2 ,   1 ,   0 )

Com isso,

r 2 : x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   1 + 2 ,   1 ,   0 h

Passo 2

Agora, vamos ver se as retas são paralelas. Para isso, temos que ver se

r 1 → = α r 2 →

1 ,   0 ,   - 1 = α 2 ,   1 ,   0

Abrindo isso,

1 = 2 α →   α = 1 2 0 = 1 α →   α = 0 - 1 = 0 α → α = - 1 0 = i n d e t e r m i n a ç a o

Como nenhum dos valores de α bate, as retas são reversas!!

Passo 3

Bem, agora precisamos pegar um ponto de cada reta!!

Do passo 1 temos

P r 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ) e P r 2 = ( 1 ,   0 ,   1 )

Com isso, conseguimos calcular o vetor   P r 1 P r 2 →

P r 1 P r 2 → = 1 ,   0 ,   1 - 1 ,   1 ,   1

P r 1 P r 2 → = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Passo 4

Agora que já possuímos os três vetores que geram o paralelepípedo, vamos relembrar a fórmula:

D r ,   s = r → ,   s → ,   P Q → r → × s →

Calculando os termos,

r 1 → ,   r 2 → ,   P r 1 P r 2 → = 1 0 - 1 2 1 0 0 - 1 0 = 2

r 1 → × r 2 → = i → j → k → 1 0 - 1 2 1 0 = 1 ,   - 2 ,   1

r 1 → × r 2 → = ( 1 ,   - 2 ,   1 ) = 6

Logo,

D r 1 ,   r 2 = 2 6 u . c

Multiplicando por 6 6   ,

D r 1 ,   r 2 = 6 3 u . c

UHULESSSS 😊

Resposta

D r 1 ,   r 2 = 2 6 u . c = 6 3 u . c

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )