Geometria Analítica – UFPE – 2° EE
Seja , . Ache a distância entre a reta e o eixo . Faça um desenho.
Passo 1
Antes de começarmos a discutir sobre distâncias entre retas, vamos escrever a equação do eixo . Por definição, ela é uma reta que passa pela origem e tem como vetor diretor o vetor . Portanto, a equação vetorial do eixo é:
Bom, agora, já podemos discutir sobre estas distâncias. Antes de calcularmos a distância entre quaisquer retas, precisamos discutir as posições relativas entre as duas retas. Precisamos distinguir se as retas são paralelas ou não, para que assim possamos utilizar as relações corretas no cálculo.
Portanto, vamos analisar os vetores diretores de ambas as retas. Para o eixo , já foi dito que o vetor diretor é . Já para a reta , basta olhar os coeficientes que multiplicam a variável , o qual é o parâmetro livre. Com isto, vamos obter o seguinte vetor .
Como o vetor não é paralelo ao vetor (basta verificar que não existe pertencente aos reais tais que ), sabemos automaticamente que as retas não são paralelas. Só nos resta dizer que elas são retas coincidentes ou retas reversas.
Passo 2
Saber que estamos trabalhando com retas reversas ou coincidentes já é o suficiente para resolvermos o problema. Sabemos que, para retas reversas, a distância é calculada por:
O numerador consiste no módulo do produto misto entre os vetores diretores das retas e o vetor , que é um vetor que vai de um ponto qualquer que pertence a reta r e um ponto qualquer que pertence ao eixo .
Se por algum acaso este produto misto for igual a 0, as retas são coincidentes e a distância é igual a 0. Caso contrário, são retas reversas e continuamos com o cálculo para chegar ao valor da distância.
Portanto, antes de irmos o cálculo do produto misto, vamos encontrar esse vetor . Seja um ponto pertencente a reta obtido quando e um ponto pertencente ao eixo , então,
Agora sim podemos fazer o nosso produto misto. Relembrando, vamos calcular o determinante de uma matriz 3x3, na qual a primeira linha consiste nas coordenadas do primeiro vetor, a segunda linha as coordenadas do segundo vetor e a terceira linha as coordenadas do terceiro vetor. Portanto,
Logo, como o produto misto deu diferente de zero, as retas realmente são reversas! Agora, só nos resta calcular a norma do produto vetorial . Calculando o produto vetorial primeiramente, temos:
Portanto, a norma deste vetor é:
Finalizando então a questão, a distância entre as duas retas é:
Resposta
A distância entre as duas retas é: