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Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Exercício 81234567910111213141516171819202122232425

Enunciado

Calcular a distância entre as retas r : y = - 2 x + 3 z = 2 x e s : x = - 1 - 2 t y = 1 + 4 t z = - 3 - 4 t

Passo 1

Simbora começar!

A primeira coisa que precisamos saber é se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.

Lembra lá da definção de retas paralelas??

Duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Vamos ver se isso é verdade!

Considerando   r → = ( 1 ,   - 2 ,   2 ) e   s → = ( - 2 ,   4 ,   - 4 ) , temos:

1 ,   - 2 ,   2 = α ( - 2 ,   4 ,   - 4 )

α = - 1 2

Logo, as retas são paralelas!!

Passo 2

Agora que já sabemos que a retas são parelelas, o exercício fica igual a distância entre ponto e reta!

Vamos escolher um ponto P da reta r :

Se x = 0 ,   P = 0 ,   3 ,   0

E um ponto genérico Q da reta s é:

Q = ( - 1 - 2 t ,   1 + 4 t ,   - 3 - 4 t )

Agora calculamos   P Q →

P Q → = Q - P = - 1 - 2 t ,   1 + 4 t ,   - 3 - 4 t - 0 ,   3 ,   0 = ( - 1 - 2 t ,   - 2 + 4 t ,   - 3 - 4 t )

Passo 3

Passo 4

Da equação da reta s tiramos que s → = ( - 2 ,   4 ,   - 4 ) e já descobrimos que

  P Q → = - 1 - 2 t ,   - 2 + 4 t ,   - 3 - 4 t

Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor P Q → são ortogonais, logo:

P Q → ∙ s → = 0

Calculando:

- 1 - 2 t ,   - 2 + 4 t ,   - 3 - 4 t ∙ - 2 ,   4 ,   - 4 = 2 + 4 t - 8 + 16 t + 12 + 16 t = 0 → t = - 1 6

Agora que achamos que t = - 1 6 podemos calcular Q :

Q = - 1 - 2 t ,   1 + 4 t ,   - 3 - 4 t → Q = - 2 3 , 1 3 ,   - 7 3

Passo 5

Agora, para terminar (UFA!) vamos achar a distancia entre o ponto P e a reta s , é só calcular a distância entre os ponto P ( 0 ,   3,0 ) e Q = - 2 3 , 1 3 , - 7 3 .

Não lembra a fórmula??

A gente relembra!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 0 + 2 3 2 + 3 - 1 3 2 + 0 + 7 3 2 = 13 u . c

Resposta

d P , Q = 13 u . c

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )