UTFPR, sem campus, Geometria Analítica e Álgebra Linear, P1, 2018.1, questão 2a
Determine a distância entre as retas abaixo:
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma reta e uma reta e pediu pra gente determinar a distância entre elas. Como as duas não tem componente na direção , nós podemos dizer que elas pertencem ao e, portanto, estão no mesmo plano, certo?
Mas será que elas paralelas ou concorrentes? Nós sabemos que duas retas são paralelas, se poderem ser escritas na forma , ou seja, se forem proporcionais. Onde e são os vetores diretores da reta. Escrevendo as nossas equações no formato vetorial, fica mais fácil enxergar esses vetores diretores:
Onde é o vetor diretor da reta e é o vetor diretor da reta . Verificando se elas paralelas, podemos fazer:
Logo,
Como os valores de são iguais, podemos dizer que elas são paralelas. Nesse caso, pra calcular a distância entre as duas retas, vamos seguir o passo a passo:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar escolhendo o ponto que pertence a reta . Agora precisamos encontrar o ponto que pertence a reta :
Então, calculamos o vetor que deve ser ortogonal a uma das retas, pode ser ou , tanto faz, pois, seus vetores diretores são proporcionais, já que elas são paralelas.
Temos:
Passo 3
Sabendo que deve ser ortogonal a uma das retas, então escolhemos e calculamos:
Fazendo o produto escalar:
Sabendo o valor de , descobrimos :
Agora é só calcular a distância entre e :
Simplificando, temos:
E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉