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Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Exercício 31245678910111213141516171819202122232425

Enunciado

Calcular a distância entre as retas r que passa pelos pontos A ( 1,0 , 1 ) e B = ( - 1 ,   - 1,0 ) e s que passa pelos pontos C ( 0 ,   1 ,   - 2 ) e D 1 ,   1 ,   1 .

Passo 1

Bem, com essas informações conseguimos achar os vetores diretores de cada reta!

Para reta r :

r → = - 1 ,   - 1 ,   0 - 1 ,   0 ,   1 = ( - 2 ,   - 1 ,   - 1 )

Para reta s :

s → = 1,1 , 1 - 0 ,   1 ,   - 2 = ( 1 ,   0 ,   3 )

Com isso, vamos ver se as retas são paralelas distintas ou reversas.

Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Substituindo os valores,

( - 2 ,   - 1 ,   - 1 ) = α ( 1 ,   0 ,   3 )

Abrindo isso, temos:

- 2 = 1 α - 1 = 0 α - 1 = 3 α

Mais uma vez obtemos uma indeterminação α = - 1 0 na segunda equação. Com isso nossas retas não são paralelas.

Logo, as retas são reversas!!

Passo 2

Agora precisamos pegar um ponto de cada reta! Isso o enunciado já nos deu!

Com isso, um ponto P da reta r é:

P = ( 1 ,   0 ,   1 )

Para a reta s , um ponto Q é:

Q = ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Agora basta calcular o vetor   P Q →

P Q → = 0 ,   1 ,   - 2 - 1 ,   0 ,   1

P Q → = ( - 1 ,   1 ,   - 3 )

Passo 3

Agora que já possuímos os três vetores que geram o paralelepípedo, vamos relembrar a fórmula:

D r ,   s = r → ,   s → ,   P Q → r → × s →

Calculando os termos,

r → ,   s → ,   P Q → = - 2 - 1 - 1 1 0 3 - 1 1 - 3 = 5

r → × s → = i → j → k → - 2 - 1 - 1 1 0 3 = - 3 ,   5 ,   1

r → × s → = ( - 3 ,   5 ,   1 ) = 35

Logo,

D r ,   s = 5 35 u . c

UHULESSSS 😊

Resposta

D r ,   s = 5 35 u . c

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )