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Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Exercício 20123456789101112131415161718192122232425

Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Geometria Analítica e Álgebra Linear, 2° Teste - 2018.1, Questão 2a

Sejam r 1 : x ,   y ,   z = ( 1 + 2 t ,   t ,   2 + 3 t ) e r 2 : x ,   y ,   z = ( t ,   1 + m t ,   - 1 + 2 m t ) duas retas.

a) Determine m para que as retas sejam coplanares (não sejam reversas).

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu duas retas r 1 e r 2 e pediu pra gente achar o m que tá na definição de uma delas, sabendo que essas retas são coplanares. Mas quando duas retas são coplanares?

Pra que as retas sejam coplanares elas precisam estar no mesmo plano, então nós precisamos analisar os vetores diretores de cada reta e um vetor formado por dois pontos, um de cada reta. Vamos escrever as nossas equações no formato vetorial pra ficar mais claro:

r 1 : x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   2 + t ( 2 ,   1 ,   3 )

r 2 : x ,   y ,   z = 0 ,   1 ,   - 1 + t ( 1 ,   m ,   2 m )

Então, nossos vetores diretores são r 1 → = ( 2 ,   1 ,   3 ) e r 2 → = ( 1 ,   m ,   2 m ) . Nós podemos também definir os pontos A = ( 1 ,   0 ,   2 ) na reta r 1 e B = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) na reta r 2 .

Se os vetores ( A B → ,   r 1 → ,   r 2 → ) forem L I , essas retas serão reversas. Ou seja, se fizermos produto misto dos vetores ( A B → ,   r 1 → ,   r 2 → ) e o determinante der diferente de zero. Mas não é isso que a gente quer. Nós queremos que as retas sejam coplanares, logo, nosso determinante precisa ser igual a zero.

Então, vamos calculá-lo e encontrar o valor de m .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor A B → :

A B → = B - A

Substituindo os pontos A = ( 1 ,   0 ,   2 ) e B = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) , temos:

A B → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) - ( 1 ,   0 ,   2 )

A B → = ( - 1 ,   1 ,   - 3 )

Agora vamos calcular o determinante de ( A B → ,   r 1 → ,   r 2 → ) igualando a zero, pra que sejam coplanares:

A B → ,   r 1 → ,   r 2 → = - 1 1 - 3 2 1 3 1 m 2 m = 0

Temos:

- 2 m + 3 - 6 m + 3 - 4 m + 3 m = 0

- 9 m = - 6

Logo,

m = - 6 - 9 → m = 2 3

E encontramos nosso resultado.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

m = 2 3

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