A distância entre as retas

r : x + 3 3   =   y - 9 - 2 =   z - 8 2 s :   x + 2 y = 7   ∩   2 y   -   z   =   3

é:

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez precisamos calcular a distância entre duas retas. Existe uma fórmula fechada, vocês lembram qual é? Bora revisar!!!

A distância entre duas retas é dada por:

r :   a   +   b t

s :   c   +   d t

d ( r , s )   =   | ( a - c ) . ( b × d ) | | ( b × d ) |

Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

Como vimo no passo anterior, a distância entre duas retas r   e   s é dada por:

r :   a   +   b t

s :   c   +   d t

d ( r , s )   =   | ( a - c ) . ( b × d ) | | ( b × d ) |

Para podermos usar essa fórmula temos que escrever nossas retas na forma

a   +   b t

Vamos começar pela reta r , temos que:

r : x + 3 3   =   y - 9 - 2 =   z - 8 2

Então:

x + 3 3   =   y - 9 - 2

- 2 x - 6 3   =   y - 9

⇒ y   = - 2 x / 3 + 7

e temos que:

x + 3 3 =   z - 8 2

2 x + 6 3 =   z - 8

⇒ z   =   2 x / 3   +   10

Sendo assim, a nossa reta é dada por:

( x ,   - 2 x / 3   +   7 ,   2 x / 3   +   10 )    

reescrevendo na forma

a   +   b t

temos:

r : ( 0,7 , 10 )   +   ( 1 , - 2 / 3,2 / 3 ) t

Passo 3

Agora vamos escrever s dessa forma.

Para isso precisamos encontrar a solução do sistema

x + 2 y = 7

2 y   -   z   =   3

(vamos usar y de pivô)

Da primeira equação temos:

x + 2 y = 7

então

x = 7   - 2 y

(da segunda equação)

2 y   -   z   =   3

então

z   =   - 3   +   2 y

Juntando esses resultados obtemos que:

s :   ( 7 - 2 y , y , - 3 + 2 y )

que é equivalente a

s :   ( 7,0 , - 3 )   +   ( - 2,1 , 2 ) t

Pronto, agora podemos usar a fórmula que revisamos no passo 1 para calcular a distância entre as retas!!!!

Passo 4

A fórmula é:

r :   a   +   b t

s :   c   +   d t

d ( r , s )   =   | ( a - c ) . ( b × d ) | | ( b × d ) |

no nosso caso,

r : ( 0,7 , 10 )   +   ( 1 , - 2 / 3,2 / 3 ) t

s :   ( 7,0 , - 3 )   +   ( - 2,1 , 2 ) t

Então vamos começar calculando a - c

a - c = ( 0,7 , 10 )   -   ( 7,0 , - 3 )  

  = ( - 7,7 , 13 )

Agora, precisamos obter ( b × d )

Vamos encontrar esse vetor. Para isso precisamos calcular o determinante da matriz

calculando o determinante obtemos:

- 2 i   - 10 j / 3   -   k / 3

Então nosso vetor é:

( - 2 , - 10 / 3 , - 1 / 3 )

Passo 5

Agora temos tudo que precisamos para calcular a distância.

Então temos que:

| ( a - c ) . ( b × d ) |   = | < ( - 7,7 , 13 )   , ( - 2 , - 10 / 3 , - 1 / 3 ) > |  

= | ( + 14 - 70 / 3 - 13 / 3 ) |

41 / 3

e temos que

| ( b × d ) | = | ( - 2 , - 10 / 3 , - 1 / 3 ) |

137 / 3

Então:

d ( r , s )   =   | ( a - c ) . ( b × d ) | | ( b × d ) |

=   41 / 3 137 3

=   41 137

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

41 137

Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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