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Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Exercício 51234678910111213141516171819202122232425

Enunciado

Calcular a distância entre as retas r : y = 1 x + 2 = z - 4 - 2 e s : x = 3 y = 2 t - 1 z = - t + 3

Passo 1

Primeiramente precisamos saber se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.

Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Vamos ver se isso é verdade!

Considerando   r → = ( 1 ,   0 ,   - 2 ) e   s → = ( 0 ,   2 ,   - 1 ) , temos:

1 ,   0 , -   2 = α ( 0 ,   2 ,   - 1 )

Abrindo isso, temos:

1 = 0 α 0 = 2 α - 2 = - 1 α

Olhando para primeira equação já vemos um problema, pois obtemos uma indeterminação α = 1 0 . Com isso nossas retas não são paralelas.

Logo, as retas são reversas!!

Passo 2

Bem, agora precisamos pegar um ponto de cada reta!!

Vou passar a equação da reta r para paramétrica para ficar mais fácil de visualizar

r : x + 2 = h y = 1 z - 4 - 2 = h

r : x = h - 2 y = 1 z = - 2 h + 4

Com isso, um ponto P da reta r é:

P = ( - 2 ,   1 ,   4 )

Para a reta s , um ponto Q é:

Q = ( 3 ,   - 1 ,   3 )

Com isso, conseguimos calcular o vetor   P Q →

P Q → = 3 ,   - 1 ,   3 - - 2 ,   1 ,   4

P Q → = ( 5 ,   - 2 ,   - 1 )

Passo 3

Agora que já possuímos os três vetores que geram o paralelepípedo, vamos relembrar a fórmula:

D r ,   s = r → ,   s → ,   P Q → r → × s →

Calculando os termos,

r → ,   s → ,   P Q → = 1 0 - 2 0 2 - 1 5 - 2 - 1 = 16

r → × s → = i → j → k → 1 0 - 2 0 2 - 1 = 4 ,   1 ,   2

r → × s → = ( 4 ,   1 ,   2 ) = 21

Logo,

D r ,   s = 16 21 u . c

UHULESSSS 😊

Resposta

D r ,   s = 16 21 u . c

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )