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Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Exercício 71234568910111213141516171819202122232425

Enunciado

Calcular a distância entre as retas r : x = 0 y = z e s : y = 3 z = 2 x

Passo 1

Vamos ver se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.

Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Para achar um vetor diretor para r , podemos escolher dois pontos quaisquer de r e subtraí-los

r → = 0,2 , 2 - 0,1 , 1 = ( 0,1 , 1 )

Fazendo o mesmo para s , obtemos

s → = ( 1,0 , 2 )

Agora vamos checar se as retas são paralelas ou não:

0,1 ,   1 = α ( 1 ,   0 ,   2 )

Abrindo isso, temos:

0 = 1 α →   α = 0 1 = 0 α → α = 1 0 1 = 2 α →   α = 1 2

Olhando para segunda equação já vemos um problema, pois obtemos uma indeterminação α = 1 0 , além disso nenhum valor de α bate!

Logo, as retas são reversas!!

Passo 2

Bem, agora precisamos pegar um ponto de cada reta!!

Um ponto P da reta r é:

P = ( 0,3 ,   3 )

Para a reta s , um ponto Q é:

Q = ( 3,3 ,   6 )

Com isso, conseguimos calcular o vetor   P Q →

P Q → = 3 ,   3 ,   6 - 0 ,   3 ,   3

P Q → = ( 3 ,   0   3 )

Passo 3

Agora já possuímos os três vetores que geram o paralelepípedo!

Relembrando a fórmula:

D r ,   s = r → ,   s → ,   P Q → r → × s →

Calculando os termos,

r → ,   s → ,   P Q → = 0 1 1 1 0 2 3 0 3 = 3

r → × s → = i → j → k → 0 1 1 1 0 2 = 2 ,   1 ,   - 1

r → × s → = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) = 6

Logo,

D r ,   s = 3 6 u . c

UHULESSSS 😊

Resposta

D r ,   s = 3 6 u . c

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )