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Exercícios Resolvidos de Distância entre Retas

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Exercício 22123456789101112131415161718192021232425

Enunciado

USP, 2018.1, P2, Q9

A distância da reta r : X = 1,0 , 1 + λ ( - 1,1 , 0 ) à reta s :   x = 2 μ y = 1 z = 2 + μ

Passo 1

Salveee blz??? Bom, essa questão aqui força a gente a lembrar da fórmulinha que nos da a distância entre retas.

Existem basicamente 3 formas de duas retas se “comportarem”. Elas são paralelas, reversas ou concorrentes.

Para ver que as duas retas não são paralelas basta olhar os vetores diretores, uma vez que v → = - 1,1 , 0 é o diretor da reta r e w → = ( 2,0 , 1 ) da reta s. Veja que os vetores não são múltiplos logo não são paralelos.

Para ver que elas não são concorrentes (não tem interseção) basta olhar que a reta s sempre terá y = 1 , já no caso da reta r nós teremos y = 1 quando λ = 1 , porém isso nos daria o ponto ( 0,1 , 1 ) e esse ponto não pertence a reta s.

Logo são reversas.

Passo 2

Relembrando a fórmula para calcular a distância entre retas reversas é:

d r , s = [ v → , w → , P r P s → ] | v →   ×   w → |

Onde P r é um ponto de r e P s   ponto da reta s

Vamos tomar P r = 1,0 , 1 e P s = ( 0,1 , 2 ) , logo   P r P s → = ( - 1,1 , 1 )

Passo 3

v → × w → =   i j k - 1 1 0 2 0 1 = 1,1 , - 2

v → × w → =   6

[ v → , w → , P r P s → ] =   - 1 1 0 2 0 1 - 1 1 1 = - 2 = 2

Substituindo:

d r , s = [ v → , w → , P r P s → ] | v →   ×   w → | = 2 6 = 6 3

Resposta

6 3

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )