USP, Probabilidade, P2-2019.2, Teste 13
13) Sabe-se que apenas dos alunos da disciplina de Probabilidade compram o livro-texto enquanto usam livros da biblioteca e/ou estudam apenas por notas de aula e materiais disponíveis no Moodle. Foram selecionados aleatoriamente alunos da disciplina. A probabilidade de que o número de alunos que compram o livro-texto dentre os selecionados seja maior que desvios-padrões acima de seu valor médio é (lembre-se: desvio padrão é a raiz quadrada da variância):
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Faaaala galerinha, tudo certo com vocês?
Bora detonar mais uma questão de probabilidade!
Nesse exercício temos todo um contexto bonito pra basicamente apresentar dois eventos:1) O aluno compra o livro-texto para estudar, onde ;
2) O aluno usa o livro da biblioteca ou estuda pelas notas de aula, onde .
Daí, dados esses dois tipos de estudantes, a questão fala que se selecionou, aleatoriamente, alunos. Ao se fazer isso, automaticamente passa a existir um valor médio, , e um desvio padrão, , da quantidade de alunos do tipo 1 existente nesse grupo.
O que a questão pede é justamente a probabilidade da quantidade de alunos do grupo 1 ser maior do que . Sacaram?
Passo 2
Beleza, entender a questão tá tranquilo, mas e como é que resolve ela né? Hahaha.
Po, a primeira coisa é tentar associar essa situação a alguma distribuição de probabilidade. Eaí, será que dá pra identificar?
Calma hahaha, pensa comigo! A gente tem dois eventos, para o que queremos calcular o evento 1 é sucesso, pois selecionamos alunos que compram livro-texto. Já o evento 2 é considerado fracasso. Qual a distribuição de probabilidade quem leva em conta o número de sucessos para uma certa quantidade de tentativas?
É a distribuição Binomial! Lembra que a variável aleatória dela é exatamente o número de sucessos, , em uma quantidade de tentativas ?! Onde a probabilidade de sucesso vale e a de fracasso . Pois é galera, nossa questão é exatamente isso.
O número de tentativas vale , pois cada aluno selecionado aleatoriamente representa uma chance de ele pertencer ao grupo 1. A probabilidade de sucesso , pois é a probabilidade de ocorrência do grupo 1.
Mas quem que é ?
Essa pergunta na verdade é a grande dificuldade dessa questão. Bora olhar o enunciado com calma, já no final ele diz que “...seja maior que desvios-padrões acima de seu valor médio”. É isso, devemos ter:
Passo 3
Certo, já desenvolvemos bastante, mas a pergunta que não quer calar:
Quem é a média e o desvio-padrão em uma distribuição binomial?
Então, esses resultados não muito legais de ficar desenvolvendo, então é bom sempre ter eles bem guardados na mente.
Massa! Substituindo então os dados dessa questão, temos:
Pronto! Como precisamos ter que:
Vem:
Ou seja, os possíveis valores para são:
ou
Passo 4
Top! Agora que já sabemos os possíveis valores de , é só usarmos a fórmula da probabilidade em uma distribuição binomial:
Daí, para , por exemplo, teremos:
Mas, para essa questão, como pode assumir valores diferentes, a probabilidade do número de estudantes do tipo ser maior do que vezes o desvio-padrão acima da média, vale:
Escrevendo isso de um jeito bonitinho em um somatório, teremos:
Aeee, prontinho! Mais uma questão finalizada!
Espero que todos tenham entendido, até a próxima pessoal 😊
Resposta
Letra D: