Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.2 – P1 – Questão 3
Suponha que um experimento biológico deva ser repetido no mínimo 4 vezes com sucesso para que seja validado. A cada dia, só se pode realizar um experimento, que, em função de variações das condições do meio pode resultar em erro, anulando completamente tal tentativa. A chance de um experimento chegar até o fim sem sucesso é conhecida e igual a 68%. O pesquisador trabalhará todos os dias, inclusive finais de semana e feriados até validar o seu experimento.
a) Identifique o modelo probabilístico que modela a chance de o experimento ser validado em dias e apresente o valor esperado do número de dias que ele trabalhará.
b) Qual a probabilidade de o pesquisador validar o seu experimento em exatos dias?
c) Qual a chance de ele demorar mais que dias para validar o experimento.
Passo 1
Essa é uma questão que você precisa pensar um pouquinho antes de tentar fazer contas...
Olhando para um experimento individualmente, a chance de fracasso é , de modo que a chance de sucesso é . Para que o experimento seja validado, ele deve ser repetido no mínimo vezes com sucesso.
No item (a) queremos identificar o modelo probabilístico que modela a chance de o experimento ser validado em dias. Como são necessários no mínimo quatro experimentos, devemos ter
Para que o experimento seja validado nos primeiros quatro dias, ele deve resultar em sucesso em todos os dias, de modo que a probabilidade é
E para ? Para que o experimento seja validado no quinto dia, nos quatro primeiros dias ele deve ter sido bem sucedido três vezes e ter fracassado uma vez. Isso pode acontecer de quatro formas diferentes:
Além disso, no quinto dia devemos ter um sucesso, de modo que a probabilidade de que isso aconteça é dada por
O termo em colchetes representa a probabilidade de haver exatamente 3 sucessos e 1 fracasso nos quatro primeiros dias e o outro termo representa a probabilidade de haver sucesso no quinto dia, completando os quatro sucessos.
Passo 2
Vamos considerar um número genérico de dias . Para que o quarto sucesso seja alcançado no -ésimo dia, devemos ter tido 3 sucessos nos primeiros dias. Para que tenhamos sucessos nos primeiros dias, devemos ter fracassos nesses primeiros dias.
Qual é a distribuição de probabilidades para esses primeiros dias? Ora, trata-se de uma distribuição binomial com sucessos e fracassos, de modo que a probabilidade é dada por
Só para você lembrar, a probabilidade de haver exatamente sucessos em eventos é
Essa é a distribuição binomial. Basta trocar por e por que obtemos a probabilidade de obtermos exatamente 3 sucessos nos primeiros dias.
Para achar a probabilidade de o experimento ser validado no -ésimo dia, basta multiplicar a probabilidade de haver exatamente 3 sucessos nos primeiros dias com a probabilidade de haver sucesso do -ésimo dia:
Portanto, a probabilidade de validar o experimento no -ésimo dia é
Nesse problema, , de modo que
Essa distribuição parece bastante uma distribuição normal, porém com o termo extra relativo ao último dia!
PS: uma dica que eu dou para resolver esse tipo de problema é começar testando situações da forma como eu fiz no passo 1 com e . Isso pode dar algum insight para você resolver o problema geral.
Passo 3
Agora que temos a distribuição de probabilidades, resolver os demais itens é bem tranquilo...
No item (b) queremos saber a probabilidade de o experimento ser validado em exatamente dias. Esse caso já foi testado no passo 1 e achamos
Vamos usar a expressão geral deduzida no item (a) para ver se obtemos o mesmo resultado:
Vemos que as expressões são idênticas, o que indica que estamos no caminho certo. Fazendo as contas:
Passo 4
Para terminar, vamos para o item (c)! Ele que saber qual a probabilidade de demorar mais de seis dias. Para isso, usamos que
Além disso,
Já sabemos que e . Para :
Portanto,
Com isso,
Fechamos o problema 😊.