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Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

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Enunciado

UFRJ – Probest – 2020.2 – Prova P1 – Exercício 2

A variável aleatória (v.a.) X segue um modelo Binomial com parâmetros n e p .

a) Se n = 4 e p = 0,25 , calcule P X ≤ 3   |   X ≥ 1 .

b) Se p = 0,2 e D P X = 1,2 , calcule o valor de n .

c) Se n = 4 e C V X = 0,5 , calcule o valor de p .

d) Se P X = n P X = n - 1 = 0,5 e P X = 1 P X = 0 = 32 , determine os valores de n e p .

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de prova!

Nesse problema vamos brincar com a distribuição binomial! Nesse tipo de distribuição, a variável X pode assumir valores inteiros indo de X = 0 até X = n . A probabilidade de termos X = k é

P X = k = n k   p k 1 - p n - k

Lembrando que

n k = n ! k ! n - k !

No item (a), temos n = 4 e p = 0,25 . Com isso, podemos calcular

P X = 0 = 4 0   0,25 0 0,75 4 - 0 = 0,3164

P X = 1 = 4 1   0,25 1 0,75 4 - 1 = 0,4219

P X = 2 = 4 2   0,25 2 0,75 4 - 2 = 0,2109

P X = 3 = 4 3   0,25 3 0,75 4 - 3 = 0,0469

P X = 4 = 4 4   0,25 4 0,75 4 - 4 = 0,0039

A probabilidade condicional pedida pode ser calculada por

P X ≤ 3   |   X ≥ 1 = P X ≤ 3     e   X ≥ 1 P X ≥ 1 = P 1 ≤ X ≤ 3 P X ≥ 1

Temos também que

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0 = 1 - 0,3164 = 0,6836

P 1 ≤ X ≤ 3 = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 = 0,4219 + 0,2109 + 0,0469 = 0,6797

Com isso,

P X ≤ 3   |   X ≥ 1 = 0,6797 0,6836 = 0,994

Passo 2

No item (b), temos que usar a fórmula do desvio padrão:

D P X = n p 1 - p

Logo,

n = D P X 2 p 1 - p

Usando p = 0,2 e D P X = 1,2 :

n = 1,2 2 0,2 ⋅ 0,8

Portanto,

n = 9

Passo 3

Para resolver o item (c), você deve saber que a covariância da distribuição binomial é

C V X = D P X n p = n p 1 - p n p

Usando n = 4 e C V X = 1 / 2 , temos que

1 2 = 4 p 1 - p 4 p → p 1 - p p = 1

Elevando ao quadrado:

p 1 - p p 2 = 1 → p 2 = p - p 2

Logo,

2 p 2 = p → 2 p = 1 → p = 1 2

Portanto,

p = 0,5

Passo 4

Para terminar, vamos ao item (d)! É fácil ver que

P X = n = n n   p n 1 - p n - n = p n

Já para X = n - 1 :

P X = n - 1 = n n - 1   p n - 1 1 - p n - n - 1 = n ! n - 1 ! 1 ! p n - 1   1 - p = n   p n - 1 1 - p

Com isso, a razão dada no enunciado é

P X = n P X = n - 1 = p n n   p n - 1 1 - p = p n 1 - p = 1 2

Vamos guardar essa equação! Para a segunda relação, achamos

P X = 1 = n 1   p 1 1 - p n - 1 = n ! 1 ! n - 1 ! p 1 - p n - 1 = n p 1 - p n - 1

P X = 0 = 1 - p n

Assim,

P X = 1 P X = 0 = n p 1 - p n - 1 1 - p n = n p 1 - p = 32 → 1 - p n p = 1 32

Agora, vamos multiplicar as duas relações que nós encontramos:

p n 1 - p ⋅ 1 - p n p = 1 2 ⋅ 1 32 → 1 n 2 = 1 64

Portanto,

n 2 = 64 → n = 8

Com isso, podemos substituir de volta na primeira relação:

p 8 1 - p = 1 2 → p 1 - p = 4

Multiplicando em cruz:

p = 4 - 4 p → p = 0,8

Ufa, a questão deu trabalho mais chegamos no final 😉!

Resposta

P X ≤ 3   |   X ≥ 1 = 0,994

n = 9

p = 0,5

n = 8               e         p = 0,8

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