Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Ver Teoria

Enunciado

Se X   ~   b ( n , p ) , sabendo-se que E x = 12   e σ 2 = 3 , determinar:

a) n

b) p

c) P X < 12

d) P ( X ≥ 14 )

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

g)   P ( Y ≥ 12 16 ) , onde Y = X / n

Passo 1

a e b)

Temos uma distribuição binomial certo?

O enunciado nos diz que seus parâmetros são n e p onde n é a quantidade de vezes que estamos repetindo o experimento.

Como podemos encontrar os valores e n e p ?

Se você reparar, no enunciado nos dá a informação de que E x = 12   e σ 2 = 3 .

Mas o qual a relação dos parâmetros com esses termos?

Na binomial temos a seguinte equação:

E X = n p

V a r X = n p ( 1 - p )

Igualando então teremos:

E X = n p = 12

V a r X = n p 1 - p = 3  

Um sisteminha, certo? Vamos resolver pelo método da substituição:

V a r X = 12 . 1 - p = 3

1 - p = 3 12

1 - p = 1 4

Portanto,

p = 3 4

Assim,

n p = 12

n . 3 4 = 12

n = 16

Beleza?!

Passo 2

c) P ( X < 12 )

Queremos X < 12 ,     ou seja temos que fazer:

P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + … + P ( X = 11 )

Concorda?!

Temos que pela fórmula da binomial

P X = x = n x p x 1 - p n - x

Beleza?!

Se ficou confuso de onde veio isso, o sentido de cada termo dá uma olhadinha ali na teoria :D

Se ele quer a soma dessas probabilidades iremos fazer um somatório:

P X < 12 = P X = 1 + … + P X = 11

Então, vamos ter que calcular cada um dos termos do somatório utilizando a fórmula binomial, sacou? E já encontramos os valores de n = 16 e de p = 3 4 = 0,75 , beleza?!

Assim,

P X = 1 = 16 1 0,75 1 1 - 0,75 16 - 1

E faremos essas mesmas continhas de k = 1 até k = 11 ! Ficaremos com:

P X < 12 = 16 1 0,75 1 1 - 0,75 16 - 1 + … + 16 11 0,75 11 0,25 5

Podemos reescrever da seguinte maneira para resumir esse trambolhão:

P ( X < 12 ) = ∑ k = 1 11 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k

Fazendo as continhas, temos

P X < 12 = 0,3698

Passo 3

d) P ( X ≥ 14 )

Bom, agora queremos x ≥ 14   ou seja

P X = 14 + P X = 15 + P ( X = 16 )

Como já vimos na letra c vamos usar a seguinte fórmula:

P X ≥ 14 = ∑ k = 14 16 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k = 0,1971

Passo 4

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

Sabemos que

E a X + b = a E X + b

Sendo

Z = X - 12 3 = 1 3 X - 12 3

Então podemos falar que:

a = 1 √ 3   e   b = 12 3

Assim teremos

E Z = 1 3 E X - 12 3

Como sabemos que E X = 12

E Z = 12 3 - 12 3 = 0

Agora vamos calcular Var(Z)

Sabemos também que

V a r a X + b = a 2 V a r ( X )

Portanto

V a r Z = 1 3 2 V a r X = 1 3 . 3 = 1

Passo 5

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

Sabemos pela letra a) que n = 16 portanto Y = X 16 . Assim o que queremos é:

P ( X 16 ≥ 14 16 )

Note que isso é a mesma coisa que

P ( X ≥ 14 )

Que é exatamente o que fizemos na alternativa d) e resulta em

P X ≥ 14 = 0,1971

Passo 6

g)   P ( Y ≥ 12 16 ) , onde Y = X / n

Novamente, como n = 16 → Y = X 16

Dessa forma queremos

P ( X 16 ≥ 12 16 )

Que é exatamente igual a

P ( X ≥ 12 )

Como já calculamos P X < 12 a esperteza aqui é lembrar daquela propriedade de complementar lembram? Podemos falar que:

P X ≥ 12 = 1 - P ( X < 12 )

P X ≥ 12 = 1 - 0,3698 = 0,6302

Resposta

a) 16

b) 3 4

c)   0,3698

d)   0,1971

e)   1

f)   0,6302

Exercícios de Livros Relacionados

Uma vez que nem todos os passageiros de aviões comparecem na hora do embarque, uma companhia aérea vende 125 bilhetes para um vôo que suporta somente 120 passageiros. A probabilidade de que um passage
Calcule as seguintes probabilidades binomiais diretamente pela fórmula de b(x; n, p):b(3; 8, 0.6) b(5; 8, 0,6) P(3 d. P(1
O Exercício 29 (Seção 3.3) forneceu a fmp de Y, o número de violações do código de trânsito de um indivíduo selecionado aleatoriamente com seguro de uma certa empresa. Qual é a probabilidade de que en
Vinte por cento de todos os telefones de um determinado tipo são enviados para reparo em garantia. Desses, 60% podem ser reparados, enquanto os outros 40% devem ser substituídos. Se uma empresa compra
Uma ponte cobra um pedágio de US$ 1,00 para carros de passeio e de US$ 2,50 para outros veículos. Suponha que, durante o dia, 60% de todos os veículos sejam carros de passeio. Se 25 veículos cruzarem