Uma empresa faz transporte de material por meio de caminhões e o volume de encomendas que ela recebe oscila ao longo do tempo. Admita que, escolhendo ao acaso um dia de trabalho:
• O número de entregas a serem feitas segue uma distribuição de Poisson com média de 5 entregas/dia;
• A empresa pode contratar, por empreitada, trabalhadores autônomos que constam de uma lista de 6 nomes. Todos eles tem a mesma chance de virem a ser contratados para servir à empresa naquele dia, e há independência entre as decisões de se contratar ou não relativas aos diversos trabalhadores da lista;
• O número de caminhões usados para realizar os serviços naquele dia pode ser igual a: 1 (com probabilidade 0,15), 2 (com probabilidade 0,60), ou 3 (com probabilidade 0,25).
Pergunta-se:
(b) Quais são os valores possíveis de , se a probabilidade de serem recrutados exatamente 3 empregados da lista de 6 é igual a 0,27648?
Passo 1
b)
Vamos criar uma v.a. que represente o número de trabalhadores contratados no dia:
Mas qual a distribuição dessa v.a.?
Se nós analisarmos uma contratação como um sucesso, e sabemos que é a probabilidade de um trabalhador ser contratado, teríamos que é a probabilidade de sucesso. Então na hora de contratar um trabalhador, temos a possibilidade de ter um sucesso (contratação do trabalhador) ou fracasso (nāo contratação do trabalhador), o que é um experimento de Bernoulli.
Mas na realidade não temos só um trabalhador para contratar ou não, e sim 6, pois é o número de nomes na lista. Então vamos repetir 6 vezes o experimento de Bernoulli que descrevemos acima, e como os sucessos ou fracassos dessas repetições são independentemente, podemos dizer que a contratação dos trabalhores dessa lista vai seguir uma distribuição Binomial!
Então nossa v.a. vai seguir:
Onde é o nosso número de repetições, ou seja, o número de nomes da lista, e é a probabilidade de sucesso, ou seja, de contratar um trabalhador.
Passo 2
Foi dito no enunciado que a probabilidade de serem recrutados 3 empregados da lista é igual a 0,27648. Então:
Beleza! Agora vamos lembrar da fórmula da Binomial:
Então, lembrando que , no caso de 3 empregados recrutados, a função de probabilidade fica:
Vamos igualar essa função aí ao valor da probabilidade de dada pela questão! Assim ó:
Desenvolvendo isso aí:
Rearrumando isso aí no formato clássico de uma equação de segundo grau:
Resolvendo isso aí por Bhaskara, descobrimos que pode valer:
Ambos valores são válidos para valores de probabilidades, então incluímos os dois na resposta.