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Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

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Enunciado

TAREFA da aula- 4 - Probabilidade e Estatística – Questão 2

Suponha que um experimento biológico deva ser repetido no mínimo 4 vezes com sucesso para que seja validado. A cada dia só se pode realizar um experimento, que, em função de variações das condições do meio pode resultar em erro, anulando completamente tal tentativa. A chance de um experimento chegar até o fim sem sucesso é conhecida e igual a 36 % . O pesquisador trabalhará todos os dias, inclusive finais de semana e feriados até validar o seu experimento.

a) Identifique o modelo probabilístico que modela a chance do experimento ser validado em 𝑥 dias e apresente o valor esperado do número de dias que ele trabalhará.

b) Qual a probabilidade do pesquisador validar o seu experimento em exatos 6 dias?

c) Qual a chance dele demorar mais que 6 dias para validar o experimento?

Passo 1

a) E aí meus queridos (as)! Bora pro primeiro item dessa questão!

Cara, ele fala pra gente sobre um experimento, que pode ter sucesso ou falha. Nisso, já dá pra ficar ligado nas possíveis distribuições que envolvem esse tipo de situação.

Além disso, o experimento só vai ser validado após o 4 º sucesso. Se você reparar nas letras b e c , ele pede pra gente calcular probabilidades do pesquisador validar o experimento após tantos dias/tentativas.

Oooouuuu seja! O que a gente quer é que nossa variável aleatória v . a . represente o número de tentativas para o 4 º sucesso. Estamos em uma binomial negativa!

X ~ B i n N e g ( r = 4 , p = 0,64 )

Onde p é a probabilidade de sucesso e r o valor do último sucesso.

Assim pra obter o valor esperado, é só usar a relação abaixo...

E X = r p

E X = 4 0,64 = 6,25   d i a s

Como tem que ser valor inteiro, então o pesquisador vai ter que esperar na verdade, 7 dias.

Passo 2

b) Em seguida, vamos obter a probabilidade do pesquisador validar o experimento em exatos 6 dias?

Como queremos que o experimento seja validado em 6 dias, então...

X = 6

Aplicando na função de probabilidade da binomial negativa, temos:

P X = 6 = 6 - 1 4 - 1 ∙ p 4 ∙ ( 1 - p ) 6 - 4

P X = 6 = 5 3 ∙ p 4 ∙ ( 1 - p ) 2

P X = 6 = 5 ! 3 ! ⋅ 5 - 3 ! ∙ 0,64 4 ∙ ( 1 - 0,64 ) 2

P X = 6 = 10 ∙ 0,64 4 ⋅ 0,36 2

P X = 6 = 0,2174 = 21,74 %

Passo 3

c) E pra finalizar, a gente tem que calcular a chance do pesquisador demorar mais que 7 dias para validar o experimento?

Bem! Queremos a probabilidade de o pesquisador demorar mais que 6 dias, ou seja:

P ( X > 6 )

E sempre que a gente ficar em uma situação como essa, é importante pensar no complementar! Graças a ele, a gente acha uma saída...

P X > 6 = 1 - P X ≤ 6 = 1 - [ P X = 6 + P X = 5 + P X = 4 ]

Paramos em X = 4 , porque não faz muito sentido considerar abaixo de X = 4 , já que ele precisa testar no mínimo no mínimo, 4 vezes!

Calculando as probabilidades que precisamos:

P X = 4 = 4 - 1 4 - 1 ∙ p 4 ∙ 1 - p 4 - 4 = 4 ! 4 ! 4 - 4 ! ∙ 0,64 4 ∙ 0,36 0 = 0,1677

P X = 5 = 5 - 1 4 - 1 ∙ p 4 ∙ 1 - p 5 - 4 = 4 ! 3 ! 4 - 3 ! ∙ 0,64 4 ∙ 0,36 1 = 0,2416

P X = 6 = 6 - 1 4 - 1 ∙ p 4 ∙ ( 1 - p ) 6 - 4 = 5 ! 3 ! 5 - 3 ! ∙ 0,64 4 ∙ 0,36 2 = 0,2174

E então, substituindo:

P X > 6 = 1 - [ 0,2174 + 0,2416 + 0,1677 ]

P X > 6 = 0,3733 = 37,33 %

Resposta

a)

X ~ B i n N e g ( r = 4 , p = 0,64 )

E X = 4 0,64 = 6,25   d i a s ≈ 7   d i a s

b)

P X = 6 = 0,2174 = 21,74 %

c)

P X > 6 = 0,3733 = 37,33 %

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