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Em um histórico de provas P1 de PROBEST sabe-se que 3% dos alunos faltam no dia da prova. O professor decide fazer a prova em uma sala aonde tem 58 lugares e não tem espaço para colocar mais carteiras, e a turma para fazer a prova é de 61 alunos.
Qual a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos?
Passo 1
Imagina que nós analisássemos a presença ou falta de um aluno no dia da prova como um evento de Bernoulli. Vamos considerar que quando o aluno aparece, temos um fracasso, e quando um aluno falta, temos um sucesso.
Então se nós temos 61 alunos que vão passar por essa condição de presença X falta (fracasso X sucesso), nós temos uma repetição de 61 experimentos de Bernoulli, ou seja, uma distribuição Binomial!
Então vamos criar uma v.a. para representar os sucessos dessa Binomial (ou seja, o número de faltantes):
Onde a probabilidade de sucesso é a probabilidade da falta, ou seja , e temos repetições, então:
Passo 2
É pedida a probabilidade de que não haja lugares suficientes para os alunos, e agora?
Nós sabemos que existem 58 cadeiras na sala para 61 alunos, então para faltar cadeira, o número de faltosos tem que ser pelo menos igual ao número de excesso de alunos. Dos 61 alunos, 58 com certeza conseguem sentar, e sobram 3 sem lugar. Então, para não ter lugar suficiente, precisamos ter menos que 3 faltosos! Já que se 3 faltarem, vamos ter exatamente 58 lugares ocupados.
Então a probabilidade que queremos é:
Lembrando a fórmula da distribuição Binomial:
Aplicando essa fórmula na nossa expressão de probabilidades:
Então a probabilidade de não haver lugar para todos é de .