Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada
Seja uma variável aleatória com distribuição Binomial cuja função de distribuição acumulada é dada por:
Determinar:
- O valor da constante
- Coeficiente de variação de
- e
Passo 1
Letra a)
Sabemos que a função de distribuição acumulada nos dá o valor acumulado das probabilidades até certo ponto. E se quisermos calcular a probabilidade de um evento acontecer a partir de valores da FDA, como faz?
Bom... pensa comigo. Se subtrairmos de uma FDA num ponto o valor da FDA imediatamente anterior a esse , vamos ter o valor da probabilidade de acontecer! Que nem vimos lá na teoria:
Então vamos calcular a probabilidade de cada um dos da Binomial da questão acontecer:
Não tem nenhum ponto anterior ao zero, por isso não subtraímos nada! Continuando:
Passo 2
Agora vamos calcular usando a fórmula do cálculo de probabilidade da Binomial, deixando em função de e , que não conhecemos:
Vamos igualar issaê ao valor de que encontramos subtraindo as FDAs no passo anterior:
Agora vamos fazer o cálculo da probabilidade pela fórmula da Binomial para
Que pode ser escrito como:
Substituindo o encontrado nisso aí temos:
Agora vamos igualar esse cara com a que encontramos subtraindo as FDAs no passo anterior:
Simplificando e rearrumando:
Socorroooo, essa volta toda pra chegar numa equação com duas incógnitas?!
É frustante ser de exatas às vezes, eu sei... Mas segura firme, estamos quase lá!
Esse aí nessa equação te alguma coisa? Pra quem não lembra, a esperança de uma distribuição Binomial é dada por:
Então se a gente conhecer a esperança, conhecemos , substituímos ele na nossa equação e conseguimos descobrir , que, no momento, é o motivo das nossas dores! Vamos calcular essa LOGO então. Lembrando da fórmula padrão da esperança:
E olha as boas notícias! Quando fizemos aquela contalharada toda com as FDAs lá no início, calculamos tudo que vamos usar nesse somatório: todos as ! Então é só aplicar e somar os valores, vai ficar assim ó:
E isso aí, como comentamos, é igual a:
Substituindo isso aí na nossa equação de (não mais) uma incógnita:
Essa sou euzinha agora, espero que vocês também estejam aliviados.
Passo 3
Letra b)
Lembrando a fórmula do coeficiente de variação:
A esperança de já conhecemos! E numa distribuição Binomial, nosso desvio padrão é:
Já calculamos o valor de , agora vamos usar a esperança calculada para descobrir :
[OFF]Peraê... Eu podia ter deduzido esse n=5 desde o início, se n na Binomial é o número de repetições e minha FDA tem 5 degraus, quer dizer que o evento se repete 5 vezes!Siiim... São duas formas diferentes de resolver, as duas tão certas. De qualquer forma, a gente teria que calcular a esperança de X, então não íamos nos livrar daquele cálculo todo. E foi uma forma de provar que tudo que fizemos foi consistente, já que os valores bateram![FIM DO OFF]
E agora podemos calcular nosso desvio padrão:
Então nosso coeficiente de variação fica:
Passo 4
Letra c)
Primeiro o item pede . Como pela FDA podemos deduzir que vai de 0 a 5:
E a gente calculou todas essas probabilidades lá no início! São elas:
E agora , que é a mesma coisa que:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)