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Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

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Exercício 12123456789101113141516171819202122232425262728

Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.2b

2] Cada uma das seguintes inequações determina um conjunto de pontos em R 2 e R 3 . Identificar as bolas abertas e as bolas fechadas identificando o centro e seu raio.

(b) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 x + 2 y + 2 z

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema serão dadas inequações de esferas ou círculos e nosso objetivo é identificar o centro e o raio da esfera ou do círculo.

Ok, mas como podemos descobrir isso? 👀

A inequação genérica da esfera é dada por

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 < r 2

Onde x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas do centro da esfera e r é o raio da esfera.

Já a inequação do círculo é a mesma coisa só que excluindo o termo z - z 0 2

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

A inequação dada é

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 x + 2 y + 2 z

Então temos que manipular essa inequação para ser escrita como uma das inequações do passo 1.

Nesse caso temos a coordenada z , então se trata de uma esfera.

Passando os termos da direita para a esquerda, temos

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2 z ≤ 0

x 2 - 2 x + y 2 - 2 y + z 2 - 2 z ≤ 0

Completando quadrados, temos que x - a 2 = x 2 - 2 a x + a 2 , assim podemos fazer o seguinte: perceba que em x 2 - 2 x , a = 1 mas que a 2 não aparece. Então se fizermos x 2 - 2 x + 1 - 1 = x - 1 2 - 1 vamos ter uma forma de completar os quadrados...

Podemos fazer isso em todas as variáveis

x - 1 2 - 1 + y - 1 2 - 1 + z - 1 2 - 1 ≤ 0

x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 - 3 ≤ 0

x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 ≤ 3

Ou seja, descobrimos que essa inequação se trata de uma esfera centrada em 1,1 , 1 e com raio r = 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Esfera centrada em 1,1 , 1 e com raio r = 3

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