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Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

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Exercício 22123456789101112131415161718192021232425262728

Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, PF 2016.1, questão 9

Encontrar a > 0 tal que a reta x - 1 1 = y - 3 1 = z a tangencia a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 3 .

a 7 / 2

b 1

c 3 / 2

d 2 / 7

e 1 / 2

Passo 1

Podemos encontrar a equação paramétrica da reta:

x - 1 1 = y - 3 1 = z a = t

Temos:

x = 1 + t

y = 3 + t

z = a t

Passo 2

Para que a reta tangencie a esfera, deve haver apenas um ponto em que a reta intercepta a esfera, ou seja, deve haver apenas um valor de t que satisfaça:

x 2 + y 2 + z 2 = 3

Substituindo

t + 1 2 + t + 3 2 + a t 2 = 3

t 2 + 2 t + 1 + t 2 + 6 t + 9 + a 2 t 2 = 3

t 2 2 + a 2 + 8 t + 7 = 0

Para haver um único valor de t , ∆ = 0 , então:

∆ = 0

64 - 4 2 + a 2 7 = 0

Logo:

64 - 28 2 + a 2 = 0

16 7 = 2 + a 2

a 2 = 2 7

a = ± 2 7

Como a > 0 , a = 2 7

Resposta

Letra d

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