Seja a superfície dada por
E considere as seguintes afirmações:
- é um hiperboloide de uma folha
- A interseção entre e o plano é uma parábola neste plano
- A interseção entre e o plano é vazia
Indique a alternativa correta.
- Todas as afirmações são falsas
- Todas as afirmações são verdadeiras
- As afirmações II e III são verdadeiras e I é falsa
- As afirmações I e III são verdadeiras e a II é falsa
- A afirmação II é verdadeira e I e III são falsas
Passo 1
Temos um termo quadrático e um termo linear em . Vamos completar quadrados em pra descobrir que danado de superfície é essa.
Isolando o (única variável que não está ao quadrado):
Passo 2
Beleza, conseguiu descobrir que superfície é essa?
Não?
Nem eu...
Mas apesar disso, logo de cara já dá pra saber que isso não é um hiperboloide de uma folha, pois na equação do hiperboloide de uma folha, todas as variáveis são elevadas ao quadrado e no caso da nossa superfície , o está linear.
Assim, a gente já elimina a primeira afirmativa e as alternativas e .
Passo 3
Agora só nos resta testar as opções II e III.
Começando pela II:
A interseção entre e o plano é uma parábola neste plano.
Nossa superfície é:
Fazendo a interseção como plano :
E isso nada mais é que uma parábola paralela ao plano .
Lembrando que o plano é paralelo ao plano , essa opção está verdadeira.
Passo 4
Vamos testar a afirmativa III:
A interseção entre e o plano é vazia
Nossa superfície é:
Fazendo a interseção como plano:
Completando quadrados:
E isso é um cilindro, portanto, essa interseção não é nada vazia!