2] Cada uma das seguintes inequações determina um conjunto de pontos em R^2 e R^3 . Identificar as bolas abertas e as bolas fechadas identificando o centro e seu raio.

(a) x^2 + y^2 - 2y + 1 < 3

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema serão dadas inequações de esferas ou círculos e nosso objetivo é identificar o centro e o raio da esfera ou do círculo.

Ok, mas como podemos descobrir isso? 👀

A inequação genérica da esfera é dada por

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 < r 2

Onde x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas do centro da esfera e r é o raio da esfera.

Já a inequação do círculo é a mesma coisa só que excluindo o termo z - z 0 2

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

A inequação dada é

x 2 + y 2 - 2 y + 1 < 3

Então temos que manipular essa inequação para ser escrita como uma das inequações do passo 1.

Nesse caso não temos a coordenada z , então se trata de um círculo.

O termo x 2 é o único termo que contém a variável x , portanto podemos dizer que o centro do círculo em x está em x 0 = 0 .

Já o termo y aparece em y 2 e - 2 y .

Como x - a 2 = x 2 - 2 a + a 2 , podemos comparar com y 2 - 2 y + 1 e ver que x = y e a = 1 ...

x 2 + y - 1 2 < 3

Ou seja, essa inequação se trata de um círculo de raio r = 3 e centro em 0,1

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Círculo de raio r = 3 e centro em 0,1 .

Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

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