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Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 2.4

2.4. Mostre que o elipsoide 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 2 4 = 0 se tangenciam no ponto 1,1 , 2 (isto é, que elas têm o mesmo plano tangente neste ponto).

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que mostrar que o elipsoide 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 2 4 = 0 tem o mesmo plano tangente no ponto P 0 = 1,1 , 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Para obter o plano tangente de uma função, podemos aplicar a formulinha

∂ F P 0 ∂ x x - x 0 + ∂ F P 0 ∂ y y - y 0 + ∂ F P 0 ∂ z z - z 0 = 0

Onde F é a função do elipsoide e da esfera...

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter o plano tangente da esfera no ponto P 0 .

Se F é a função do elipsoide, 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 , então passando tudo para um lado só...

F = 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 9

Aplicando na fórmula do plano tangente, temos

∂ F P 0 ∂ x x - x 0 + ∂ F P 0 ∂ y y - y 0 + ∂ F P 0 ∂ z z - z 0 = 0

∂ 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 9 ∂ x x - x 0 + ∂ 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 9 ∂ y y - y 0 + 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 9 ∂ z z - z 0 = 0

Derivando a função F ...

6 x x - x 0 + 4 y y - y 0 + 2 z z - z 0 = 0

Aplicando o ponto P 0 nos resultados das derivadas...

6 x 0 x - x 0 + 4 y 0 y - y 0 + 2 z 0 z - z 0 = 0 → P 0 = 1,1 , 2

6 1 x - 1 + 4 1 y - 1 + 2 2 z - 2 = 0

6 x - 1 + 4 y - 1 + 4 z - 2 = 0

6 x - 6 + 4 y - 4 + 4 z - 8 = 0

6 x + 4 y + 4 z = 18

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para a equação da esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 2 4 = 0 .

G = x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 2 4

Aplicando a fórmula do plano tangente...

∂ G P 0 ∂ x x - x 0 + ∂ G P 0 ∂ y y - y 0 + ∂ G P 0 ∂ z z - z 0 = 0

∂ x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 2 4 ∂ x x - x 0 + ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 2 4 ∂ y y - y 0 + ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 2 4 ∂ z z - z 0 = 0

Calculando as derivadas...

2 x - 8 x - x 0 + 2 y - 6 y - y 0 + 2 z - 8 z - z 0 = 0

Aplicando o ponto P 0 nas derivadas

2 x 0 - 8 x - x 0 + 2 y 0 - 6 y - y 0 + 2 z 0 - 8 z - z 0 = 0

2 1 - 8 x - 1 + 2 1 - 6 y - 1 + 2 2 - 8 z - 2 = 0

- 6 x - 1 - 4 y - 1 - 4 z - 2 = 0

Multiplicando os dois lados da equação por - 1 , chegamos em

6 x - 1 + 4 y - 1 + 4 z - 2 = 0

6 x + 4 y + 4 z = 18

Assim, vemos que 6 x + 4 y + 4 z = 18 é o plano tangente do elipsoide e da esfera no ponto 1,1 , 2 , ou seja, as duas superfícies são tangentes.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

6 x + 4 y + 4 z = 18

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