Esboço de Curvas
Considere a função e determine o que se pede calculando todos os limites necessários. Caso não haja, justifique por que não há.
OBS.: é a função inversa da função tangente.
Domínio de ;
Derivada de ;
Equação de cada uma das assíntotas verticais da curva ;
Equação de cada uma das assíntotas horizontais da curva ;
Equação de cada uma das assíntotas oblíquas (inclinadas) da curva .
Passo 1
Como o arco tangente de está definido para todo , bem como o . Assim, concluímos que seu domínio corresponde a todos os reais:
Passo 2
Vamos derivar a função usando a Regra da Cadeia:
Passo 3
Como o domínio da função é todo o campo dos números reais percebemos que não haverão descontinuidades. As assíntotas verticais estão diretamente relacionadas com a existência de descontinuidades. Vemos que, portanto, não haverão assíntotas dessa natureza.
Passo 4
Para determinar se existem assíntotas horizontais devemos calcular o limite de para e :
Ora, arco tangente é uma função que tem a imagem definida entre . No caso, assim como temos . Com uma mudança de variáveis encontramos:
Da mesma forma, pelo mesmo raciocínio, acharemos:
Enfim, para teremos:
Concluímos, já que os limites não convergem, que não existem assíntotas horizontais.
Passo 5
Procuramos pelas assíntotas oblíquas agora. Modelando a assíntota para por :
Encontramos a reta
Para vamos modelar a reta por e seguir com a definição:
Achamos a reta .
Nossa assíntotas são, portanto, e .