[UFABC] Cálculo 1 – Lista 5 – Funções de Uma Variável – Questão 1b
Para a próxima função:
- Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
- Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
- Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
- Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Fala aí, amigão! Temos um passo a passo que vai nos ajudar a construir no final o nosso gráfico, beleza? Então mãos a obra!
Nossa função é:
Nosso primeiro passo é encontrar os intervalos para os quais essa função é crescente e quais ela é decrescente. E como fazemos isso? Se você respondeu Regra da Primeira Derivada, você ACERTOU!
Então vamos derivar essa função :
Podemos simplificar então:
Logo a primeira derivada pode ser reescrita como:
Agora precisamos encontrar quais valores onde nossa primeira derivada é igual a zero!
Então:
Temos uma opção para tornar essa igualdade verdadeira:
Também temos que analisar o ponto em que a primeira derivada não existe, isso ocorre quando o denominador é igual a zero:
Vamos colocar esses valores no quadro de sinais:
Agora analisando os valores que cada parcela assume dentro dos intervalos, temos que a função assume valores negativos caso for maior que :
Enquanto a função só assume valores negativos para valores de menores do que :
Dividindo essas parcelas, podemos concluir sobre o sinal que a derivada da função assume em cada um dos intervalos é:
E o que sabemos através da Regra da Primeira Derivada:
- Se , então é crescente nesse intervalo;
- Se , então é decrescente nesse intervalo.
Então, através do nosso quadro de sinais chegamos a resposta do primeiro item:
é decrescente no intervalo:
é crescente no intervalo:
Passo 2
Já achamos a primeira resposta, hora de olha para o segundo pedido de nossa questão, na letra “b”, o enunciado nos diz para encontrar os valores de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar um pouco do que já construímos no item anterior!
Quando ocorre o ponto de máximo ou ponto de mínimo? Bom, isso ocorre quando a derivada primeira de uma função é igual a zero!
No último passo, descobrimos que isso ocorre quando:
Como sabemos que a função é decrescente de até e depois ela começa a crescer, então:
Enquanto por outro lado, se a função é crescente de até e depois ela retorna a decrescer até o final , logo:
Essa é a nossa resposta sobre quem são os pontos de máximo e mínimo locais!
Passo 3
Na letra “c”, o enunciado nos pede para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade que a função assume. E como começamos isso? Teste da Segunda Derivada!
Se a nossa primeira derivada vale:
Para encontrar a segunda derivada, vamos usar a Regra do Quociente:
Por fim chegamos a:
Pela Regra da Segunda Derivada, temos:
- Se , então tem concavidade para cima nesse intervalo;
- Se , então tem concavidade para baixo nesse intervalo.
- Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Pontos de Máximo:
- Pontos de Mínimo:
- Concavidade:
- Assíntota Oblíqua:
E como vamos avaliar esse sinal? Bom o numerador é sempre negativo e igual a , por outro lado, o denominador é sempre positivo. Dessa forma, a segunda derivada é sempre negativa, logo a concavidade está sempre virada para baixo!
E o ponto de inflexão? Bom como a derivada segunda nunca é igual a zero:
Então esse ponto de inflexão não existe!
Passo 4
A letra “d” é: Encontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas.
Começando pela assíntota horizontal:
Colocando o termo em evidência, teremos:
Aplicando o valor de , nsso limite se torna o produto entre:
Agora para o outro lado:
Substituindo os valores dos limites:
Dessa forma, não existem assíntotas horizontais!
Partindo para assíntotas verticais, vamos ver onde temos uma descontinuidade! No caso da nossa função:
Você percebe que não existem números fora do domínio da função, logo não existem assíntotas verticais!
Como já falamos que não existem assíntotas horizontais, teremos que testar se existem assíntotas inclinadas, também chamadas de assíntotas oblíquas. Vamos começar testando para :
O coeficiente é calculado como:
Substituindo a nossa função:
Chegamos finalmente no coeficiente:
E calculando o coeficiente :
Substituindo nossos valores:
Ficamos com o seguinte limite:
Logo, a assíntota fica da seguinte forma:
Aplicando nossos valores:
Agora vamos para o outro lado: , calculando o coeficiente :
Substituindo a nossa função:
Vamos dividir todos os elementos
Podemos então realizar uma simplificação:
E calculando o coeficiente :
Substituindo nossos valores:
Então agora está na hora de aplicar esses valores na função da assíntota oblíqua:
Então, temos a seguinte assíntota oblíqua pro lado de :
Passo 5
E por último, vamos esboçar esse gráfico, nos baseando em todas as informações que nós levantamos anteriormente.
Substituindo na função:
Substituindo na função:
E assim ligando os pontos, ficamos com o nosso gráfico:
Resposta
-
é decrescente no intervalo:
é crescente no intervalo:
-
A concavidade no intervalo é para baixo
Não tem pontos de inflexão
-
Não existem assíntotas horizontais
Não existem assíntotas verticais
Assíntota inclinada:
