[UFABC] Cálculo 1 – Lista 5 – Funções de Uma Variável – Questão 1c
Para a próxima função:
- Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
- Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
- Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
- Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Fala aí, amigão! Temos um passo a passo que vai nos ajudar a construir no final o nosso gráfico, beleza? Então mãos a obra!
Nossa função é:
Nosso primeiro passo é encontrar os intervalos para os quais essa função é crescente e quais ela é decrescente. E como fazemos isso? Se você respondeu Regra da Primeira Derivada, você ACERTOU!
Então vamos derivar essa função :
Logo a primeira derivada pode ser reescrita como:
Agora precisamos encontrar quais valores onde nossa primeira derivada é igual a zero!
Então:
Isso ocorre apenas se:
Então:
Vamos colocar esses valores no quadro de sinais:
Agora analisando os valores que cada parcela assume dentro dos intervalos, temos que a função assume valores positivos para :
Enquanto a função só assume sinais:
Podemos concluir sobre o sinal que a derivada da função assume em cada um dos intervalos é:
E o que sabemos através da Regra da Primeira Derivada:
- Se , então é crescente nesse intervalo;
- Se , então é decrescente nesse intervalo.
Então, através do nosso quadro de sinais chegamos a resposta do primeiro item:
é decrescente no intervalo:
é crescente no intervalo:
Passo 2
Já achamos a primeira resposta, hora de olha para o segundo pedido de nossa questão, na letra “b”, o enunciado nos diz para encontrar os valores de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar um pouco do que já construímos no item anterior!
Quando ocorre o ponto de máximo ou ponto de mínimo? Bom, isso ocorre quando a derivada primeira de uma função é igual a zero!
No último passo, descobrimos que isso ocorre quando:
Como sabemos que a função é decrescente de até e depois ela começa a crescer, então:
Essa é a nossa resposta sobre quem são os pontos de máximo e mínimo locais!
Passo 3
Na letra “c”, o enunciado nos pede para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade que a função assume. E como começamos isso? Teste da Segunda Derivada!
Se a nossa primeira derivada vale:
Derivando essa função para encontrar a segunda derivada:
Por fim chegamos a:
O ponto de inflexão ocorre onde a derivada segunda é igual a zero ou não existe, nesse caso, a segunda derivada não existe no ponto onde o denominador é igual a zero:
Então:
O ponto de inflexão é:
Pela Regra da Segunda Derivada, temos:
- Se , então tem concavidade para cima nesse intervalo;
- Se , então tem concavidade para baixo nesse intervalo.
- Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Pontos de Mínimo:
- Concavidade:
E como vamos avaliar esse sinal? Bom o numerador é sempre positivo e igual a três, então quem vai definir o sinal é o sinal do denominador:
Logo, quando:
Temos que a derivada segunda assume o valor positivo e a concavidade é para cima.
Por outro lado, quando:
Temos que a segunda derivada é negativa e a concavidade é para baixo!
Passo 4
A letra “d” é: Encontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas.
Começando pela assíntota horizontal:
Substituindo o valor de , temos:
Agora para o outro lado:
Fazendo a mesma substituição anterior:
Dessa forma, não existem assíntotas horizontais!
Partindo para assíntotas verticais, vamos ver onde temos uma descontinuidade! No caso da nossa função:
Você percebe que nenhum número foge do domínio de nossa função, por isso, não existem assíntotas verticais!
Como já falamos que não existem assíntotas horizontais, teremos que testar se existem assíntotas inclinadas, também chamadas de assíntotas oblíquas. Vamos começar testando para :
O coeficiente é calculado como:
Substituindo a nossa função:
Concorda comigo que isso é uma indeterminação do tipo então vamos aplicar L’Hospital:
Não temos essa assíntota. Mas vamos aplicar o mesmo passo a passo para o lado de :
Calculando o coeficiente :
Substituindo a nossa função:
Concorda comigo que isso é uma indeterminação do tipo então vamos aplicar L’Hospital:
Não precisamos calcular o coeficiente , pois não teremos essa assíntota também.
Passo 5
E por último, vamos esboçar esse gráfico, nos baseando em todas as informações que nós levantamos anteriormente.
Substituindo na função:
Um outro ponto interessante para marcarmos em nosso gráfico é onde a curva intercepta o eixo :
Agora ligando esses pontos, vamos chegar ao gráfico:
Resposta
-
é decrescente no intervalo:
é crescente no intervalo:
-
A concavidade no intervalo é para baixo.
A concavidade no intervalo é para cima.
Ponto de inflexão:
-
Não existem assíntotas horizontais, verticais e inclinadas
