Seja .

1. Determine todas as assíntotas (horizontais, verticais e oblíquas) de , justificando quando não houver
2. Determine os pontos de máximo e mínimo, justificando quando não houver
3. Esboce o gráfico da curva acima

Show, agora que temos , vamos checar as assíntotas verticais. Pra isso, temos que ver o domínio da função. Bom, o domínio vai ser todo o conjunto dos reais menos o conjunto dos pontos que dão problema. Como temos uma raiz cúbica, dentro da raiz podemos ter sim valores negativos!

Se nenhum ponto dá problema, então nenhum é candidato à assíntota vertical e logo não temos assíntotas verticais ;)

Pras horizontais agora, vamos dar uma olhada em como se comporta nos infinitos, beleza? Bora lá:

Como:

E

Vamos ter que

E logo:

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos , depois . O cálculo de vai ficar:

Se a gente colocar no numerador o

Agora vamos calcular o valor de . Felizmente só vamos ter pra nos preocuparmos já que também só achamos . Como , calculamos o da seguinte forma:

Puts, esse limite parece complicado. Mas olha um detalhe importante dele: a raiz cúbica! Ela atrapalha, não é mesmo? Que tal tentarmos tirar ela daí usando esse produto notável:

Se fizermos e , multiplicando em cima e em baixo por temos:

Show de bola, numerador simplificado. Agora vamos simplificar o denominador. Vamos abrir o termo :

E colocando em evidência:

Agora, colocando em evidência em , ficamos com:

Jogando isso dentro do denominador:

Colocando em evidência:

E, finalmente, aplicando o limite:

Ufa, cabou! A assíntota oblíqua será então:

Agora vamos ver se a nossa curva tem pontos de máximo ou de mínimo. E pra isso, vamos lembrar do clássico deriva e iguala a zero. Saca só:

Igualando à , temos que:

Ok, mas ainda precisamos ver os pontos em que a derivada não existe. Oras, única forma da derivada não existir é se o denominador for igual à , não é mesmo? Então:

Vamos analisar então o sinal da derivada em intervalos que envolvam esses pontos, ok? Ai sim vamos poder ver quando cresce e quando decresce. Esses intervalos vão ser:

Pro primeiro intervalo, vamos escolher, por exemplo, . Vamos ter:

Pro segundo intervalo, vamos escolher, por exemplo, . Vamos ter:

Pro terceiro intervalo, vamos escolher, por exemplo, . Vamos ter:

E pro último, vamos escolher, por exemplo, . Vamos ter:

Como a função é crescente quando sua primeira derivada é positiva e decrescente quando é negativa, temos que:

É nesse passo que juntamos tudo pra poder esboçar, então vamos lá. Primeiramente, a curva:

Pode ser escrita como uma função:

Dessa curva tiramos as seguintes informações:

• Intercepta o eixo em e
• Intercepta o eixo em
• Não possui assíntotas verticais
• Não possui assíntotas horizontais
• Possui uma única assíntota oblíqua
• Possui os seguintes intervalos de crescimento e decrescimento:

Graficamente, temos: