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Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Seja x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ; a , b > 0

  1. Determine todas as assíntotas (horizontais, verticais e oblíquas) de y , justificando quando não houver
  2. Determine os pontos de máximo e mínimo, justificando quando não houver
  3. Esboce o gráfico da curva acima

Passo 1

Essa questão do jeito que tá, enrola um pouco a cabeça. Nesse passo então, vamos desenrolar esse enunciado e escrever y = f x . Saca só:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

x b 2 - y a 2 a b 2 = 1

x b 2 - y a 2 = a b 2

y a 2 = x b 2 - a b 2

y a 2 = b 2 x 2 - a 2

y a = ± b 2 x 2 - a 2

y = f x = ± b a x 2 - a 2

Eita, então teremos duas funções diferentes pra analisar nesse caso! Vamos com calma que chegamos lá.

Passo 2

Para calcular as assíntotas verticais, primeiro temos que ver o domínio das duas f x que geramos. Como tempos uma raiz, a única forma de isso dar problema é se:

x 2 - a 2 < 0

x 2 < a 2

- a < x < a

Sendo assim, tem dois pontos interessantes pra gente checar: x = a e x = - a . Vamos calcular os limites nesses pontos, bele?

lim x → a ± ⁡ b a x 2 - a 2 = b a a 2 - a 2 = 0

lim x → - a ± ⁡ b a x 2 - a 2 = b a a 2 - a 2 = 0

lim x → a ± ⁡ - b a x 2 - a 2 = - b a a 2 - a 2 = 0

lim x → - a ± ⁡ - b a x 2 - a 2 = - b a a 2 - a 2 = 0

E veja só: em todas as combinações possíveis (temos duas funções, dois pontos pra calcular e duas direções, esquerda e direita, pra calcular o limite) o limite é 0 . Ou seja, não temos assíntotas verticais!

Pra ver as assíntotas horizontais agora, a gente vai fazer o limite pra mais ou menos infinito e ver se a função tende pra um valor ou se cresce cresce cresce e não para. Show, fazendo todas as combinações possíveis (duas funções e dois limites):

lim x → ± ∞ ⁡ b a x 2 - a 2 = ∞

lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 2 - a 2 = - ∞

Então nenhuma das duas funções tem assíntotas horizontais também!

Passo 3

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

y = m x + n

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x           ;           n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - m x

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos m , depois n . Para a função f x = b a x 2 - a 2 , o cálculo de m vai ficar:

m = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 2 - a 2 x

Colocando x 2 em evidência:

m = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 2 1 - a 2 x 2 x = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 1 - a 2 x 2 x =   lim x → ± ∞ ⁡ b a 1 - a 2 x 2

Aplicando o limite:

m = b a 1 - 0 = b a

Agora vamos calcular o valor de n . Felizmente só vamos ter 1 n pra nos preocuparmos já que também só achamos 1 m . Como m = b a , calculamos o n da seguinte forma:

n = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 2 - a 2 - b a x = b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x

Multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

n = b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x x 2 - a 2 + x x 2 - a 2 + x = b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x 2 x 2 - a 2 + x

n = b a lim x → ± ∞ ⁡ - a 2 x 2 - a 2 + x

Agora que não tem nenhum termo com x em cima, vemos que independente de se x → + ∞ ou se x → - ∞ , todo o denominador tende a números infinitamente grandes e, sendo a uma constante, esse limite vai a 0 . Logo:

n = 0

E a assíntota oblíqua de f x = b a x 2 - a 2 vai ser:

y = b a x

Agora, para a função f x = - b a x 2 - a 2 , o cálculo de m e n vai ficar bem parecido, quase igual na verdade! Mas pra não deixarmos de fazer, vamos seguir os mesmos passos. Começando por m então, temos:

m = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 2 - a 2 x

m = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 2 1 - a 2 x 2 x = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 1 - a 2 x 2 x =   lim x → ± ∞ ⁡ - b a 1 - a 2 x 2

Aplicando o limite:

m = - b a 1 - 0 = - b a

Para o cálculo de n então vamos ter:

n = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 2 - a 2 + b a x = - b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x

n = - b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x x 2 - a 2 + x x 2 - a 2 + x = - b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x 2 x 2 - a 2 + x

n = - b a lim x → ± ∞ ⁡ - a 2 x 2 - a 2 + x

E aplicando o limite, chegamos também à n = 0 . Por fim, obtemos que a assíntota oblíqua de f x = - b a x 2 - a 2 vai ser:

y = - b a x

Passo 4

Ok, resolvemos toda a letra a , mas falta o resto. Pra falarmos sobre pontos de máximo e de mínimo temos que pensar em pontos críticos. E pra isso, trazemos nosso grande amigo: o deriva e iguala a 0 . Partiu então:

f x = ± b a x 2 - a 2

d f d x = ± 1 2 b a x 2 ' x 2 - a 2 = 0

f ' x = ± b a x x 2 - a 2 = 0

Perceba que o único jeito dessa derivada zerar é se x = 0 . Mas vai com calma porque x = 0 não rola. Lembra que f x não estava definido no intervalo:

- a < x < a

Porque geraria uma raiz negativa? Aqui é a mesma coisa! Como:

f ' x ≠ 0

Passo 5

Show, agora vamos juntar tudo! Temos que a curva:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1     �� ;     a , b > 0

É a soma de duas funções:

f x = b a x 2 - a 2

f x = - b a x 2 - a 2

Informações que tiramos:

  • Nenhuma das duas funções tem assíntotas horizontais
  • Nenhuma das duas funções tem assíntotas verticais
  • As assíntotas oblíquas existentes são   y = b a x y = - b a x
  • A função não está definida em - a < x < a
  • As duas funções interceptam o eixo x em x = ± a

Graficamente, vemos:

Resposta

  1. Possui somente assíntotas oblíquas:   y = b a x y = - b a x
  2. Não possui quaisquer pontos críticos pois f ' x ≠ 0
  3. O gráfico é dado:

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