[UFABC] Cálculo 1 – Lista 5 – Funções de Uma Variável – Questão 2b
Para a seguinte função:
Encontre as assíntotas inclinadas e esboce o gráfico, e para isso:
- Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
- Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
- Encontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas;
- Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores
Passo 1
Fala aí, amigão! O enunciado é longo, mas tudo isso vai nos ajudar a completar o nosso gráfico final. Então mãos à obra!
Nossa função é:
Nosso primeiro passo é encontrar os intervalos para os quais essa função é crescente e quais ela é decrescente.
Então vamos usar a Regra da Primeira Derivada!
Então vamos derivar essa função , como você deve ter percebido, temos uma fração entre duas expressões, então vamos usar a regra do quociente aqui:
Aplicando no nosso caso:
Logo a primeira derivada pode ser reescrita como:
Agora precisamos encontrar quais valores onde nossa primeira derivada é igual a zero!
Então:
Por outro lado, o valor do denominador muda de sinal de acordo com o denominador, então devemos incluir o valor da raiz do denominador também:
Vamos colocar esses valores no quadro de sinais:
Agora analisando os valores que cada parcela assume dentro dos intervalos, temos que a função ( assume os seguintes sinais:
Enquanto a função só assume valores negativos para valores de menores do que :
Dividindo essas parcelas, podemos concluir sobre o sinal que a derivada da função assume em cada um dos intervalos é:
E o que sabemos através da Regra da Primeira Derivada:
- Se , então é crescente nesse intervalo;
- Se , então é decrescente nesse intervalo.
Então, através do nosso quadro de sinais chegamos a resposta do primeiro item:
é crescente no intervalo:
é decrescente no intervalo:
Passo 2
Já achamos a primeira resposta, hora de olha para o segundo pedido de nossa questão, na letra “b”, o enunciado nos diz para encontrar os valores de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar um pouco do que já construímos no item anterior!
Quando ocorre o ponto de máximo ou ponto de mínimo? Bom, isso ocorre quando a derivada primeira de uma função é igual a zero!
No último passo, descobrimos que isso ocorre quando:
Como sabemos que a função é decrescente de até e depois ela começa a crescer, então:
E você pode me perguntar, o porquê de não considerarmos o ponto como máximo ou mínimo. Isso acontece, porque esse ponto não faz parte do domínio de nossa função, ou seja, na função original:
Nunca o valor de pode ocorrer!
Passo 3
Na letra “c”, o enunciado nos pede para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade que a função assume. E como começamos isso? Teste da Segunda Derivada!
Se a nossa primeira derivada vale:
Para encontrar a segunda derivada, vamos usar a Regra do Quociente:
Colocando em evidência:
Por fim chegamos a:
Pela Regra da Segunda Derivada, temos:
- Se , então tem concavidade para cima nesse intervalo;
- Se , então tem concavidade para baixo nesse intervalo.
- Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Pontos de Mínimo:
- Concavidade:
- Assíntota horizontal:
- Assíntota vertical:
E como vamos avaliar esse sinal? Bom o denominador é sempre positivo, porque ele está elevado a quarta potência.
Por outro lado, o numerador apresenta duas possibilidades:
Vamos fazer um quadrinho de sinais para isso:
Analisando a expressão de , ela assume os seguintes valores:
Agora, os valores da expressão apenas assume valores negativos, para valores de menores que:
Por último, os sinais do denominador sempre serão positivos:
Então a segunda derivada da função assume os sinais:
E segundo as regras de concavidade de acordo com o sinal da segunda derivada da função, temos:
Passo 4
A letra “d” é: Encontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas.
Começando pela assíntota horizontal:
Se substituirmos o valor de , teremos a indeterminação , logo aplicamos a Regra de L’Hospital:
Continuamos ter uma indeterminação de , então vamos aplicar L’Hospital novamente:
Achamos nossa primeira Assíntota Horizontal!
Agora para o outro lado:
Nesse caso, temos a indeterminação , vamos aplicar L’Hospital novamente:
Caímos na mesma indeterminação, logo, vamos aplicar L’Hospital novamente:
Logo, temos uma assíntota horizontal só:
Partindo para assíntotas verticais, vamos ver onde temos uma descontinuidade! No caso da nossa função:
Você percebe que um número que não faz parte do domínio da função é o número , porque isso iria zerar o denominador e isso não pode acontecer!
Logo a assíntota vertical é:
Dessa forma, existe a assíntota vertical:
Como existem assíntotas horizontais, não pode existir nenhuma assíntota horizontal! Então finalizamos esse item e vamos para o próximo!
Passo 5
E por último, vamos esboçar esse gráfico, nos baseando em todas as informações que nós levantamos anteriormente.
Substituindo na função:
Vamos completar os pontos que faltam, começando por calcular a a função para :
Vamos marcar esse ponto no nosso gráfico:
Resposta
-
é crescente no intervalo:
é decrescente no intervalo:
