Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

[UFABC] Cálculo 1 – Lista 5 – Funções de Uma Variável – Questão 1k

Para a próxima função:

Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;

Encontre os valores de máximo e mínimo locais;

Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;

Encontre as assíntotas horizontais e verticais;

Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

Galerinha, essa é mais uma questão de montar gráfico e para chegar nesse final triunfante, iremos passar por cada um dos itens que ele nos pede no enunciado. Então vamos começar pela função:

Sobre o crescimento e decrescimento, como fazemos isso? Regra da Primeira Derivada!

Então vamos derivar essa função utilizando a Regra do Produto:

Fazendo essas derivadas dentro da nossa expressão:

Logo a primeira derivada pode ser reescrita como:

Agora precisamos encontrar quais valores onde nossa primeira derivada é igual a zero dentro do nosso intervalo! Vamos relembrar nosso intervalo:

Para isso, o numerador deveria ser igual a zero:

Temos que ter duas parcelas iguais a zero, tanto a tangente:

Quanto o produto:

A tangente é igual a zero em dois pontos:

Como nosso intervalo é:

Então a única opção é:

E isso faz o produto também ser igual a zero:

Então nossa derivada será:

Vamos colocar todos os elementos em nosso quadro de sinais:

A tangente assumirá valores positivos para o intervalo de , enquanto assume valores negativos para o intervalo :

Por outro lado, o valor da secante elevado ao quadrado sempre será positivo, exatamente por estar elevado ao quadrado:

Enquanto a expressão de assume o sinal positivo caso esteja acima do valor zero e assume sinal negativo caso, o intervalo seja inferior a zero:

Dessa forma, o produto entre os fatores do numerador e a divisão deste pelo denominador resulta nos sinais da primeira derivada nos intervalos:

E o que sabemos através da Regra da Primeira Derivada:

Se , então é crescente nesse intervalo;
Se , então é decrescente nesse intervalo.

Baseado nessa regra, podemos assumir que a função terá o seguinte comportamento:

é crescente no intervalo:

é decrescente no intervalo:

Passo 2

Já achamos a primeira resposta, hora de olha para o segundo pedido de nossa questão, na letra “b”, o enunciado nos diz para encontrar os valores de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar um pouco do que já construímos no item anterior!

Quando ocorre o ponto de máximo ou ponto de mínimo? Bom, isso ocorre quando a derivada primeira de uma função é igual a zero!

No último passo, descobrimos que isso ocorre nos pontos:

Analisando que antes de temos um decrescimento e após esse ponto a função começa a crescer, então:

Passo 3

Na letra “c”, o enunciado nos pede para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade que a função assume. E como começamos isso? Teste da Segunda Derivada!

Se a nossa primeira derivada vale:

Para encontrar a segunda derivada, vamos separar em duas derivadas:

Nossa segunda parte é:

Resolvendo essa Regra do Produto:

Vamos voltar a nossa Segunda Derivada:

Podemos então simplificar da forma:

Colocando em evidência:

Olha, pessoal, nos baseando no quadrinho do primeiro passo, nós sabemos que o produto:

É sempre maior que zero em nosso intervalo . E como sabemos que a secante elevada ao quadrado é sempre maior que zero, então TODA a nossa segunda derivada é maior que zero!