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Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Considere a função f : I R - 0 → I R dada por:

f x = x - 1 - 1 x - 1 x 2

Assinale a alternativa cujo gráfico mais se assemelha ao gráfico de f :

  1. I
  2. I I
  3. I I I
  4. I V
  5. V

Passo 1

Bom, vamos lá! Pra gente escolher um bom esboço entre esses, vamos precisar fazer o pacote completo: assíntotas, crescimento e decrescimento e concavidade. Começando pelas assíntotas horizontais, note que:

lim x → + ∞ ⁡ x - 1 - 1 x - 1 x 2 = + ∞ - 1 - 0 - 0 = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 - 1 x - 1 x 2 = - ∞ - 1 - 0 - 0 = - ∞

Se não achamos números ali em cima é porque não temos assíntotas horizontais. Agora, pras verticais, note que podemos reescrever a função como:

f x = x - 1 - 1 x - 1 x 2 = x 3 x 2 - x 2 x 2 - x x 2 - 1 x 2

f x = x 3 - x 2 - x - 1 x 2

E logo, fazendo os limites laterais pro único ponto que “dá problema”, que é o ponto que zera o denominador ( x = 0 ), vamos ter:

lim x → 0 - ⁡ x 3 - x 2 - x - 1 x 2 = - 1 0 + = - ∞

lim x → 0 + ⁡ x 3 - x 2 - x - 1 x 2 = - 1 0 + = - ∞

E opa, os limites explodiram! Então temos x = 0 como assíntota vertical! Pra fechar as assíntotas, vamos ver a oblíqua! Ela tem o seguinte modelo:

y = m x + n

m = lim x → + ∞ ⁡ f x x

n = lim x → + ∞ ⁡ f x - m x

Começando pelo primeiro, vamos ter:

f x = x - 1 - 1 x - 1 x 2

m = lim x → + ∞ ⁡ x - 1 - 1 x - 1 x 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x - 1 x 2 - 1 x 3

E fazendo esse limite, temos:

m = 1 - 0 - 0 - 0 = 1

Show, achamos o m . Bora pro n agora:

n = lim x → + ∞ ⁡ f x - m x

n = lim x → + ∞ ⁡ x - 1 - 1 x - 1 x 2 - x

n = lim x → + ∞ ⁡ - 1 - 1 x - 1 x 2 = - 1 - 0 - 0 = - 1

E tai! Modelamos a assíntota oblíqua! Ela vai ser:

y = x - 1

Passo 2

Beleza, vamos falar de intervalos de crescimento e decrescimento agora. Pra isso, vamos precisar da primeira derivada, ok? Derivando:

f ' x = x - 1 - 1 x - 1 x 2 ' = x 3 x 2 - x 2 x 2 - x x 2 - 1 x 2 '

f ' x = x 3 - x 2 - x - 1 x 2 '

Pela regra do quociente:

f ' x = x 3 - x 2 - x - 1 ' x 2 - x 3 - x 2 - x - 1 x 2 ' x 4

f ' x = 3 x 2 - 2 x - 1 x 2 - x 3 - x 2 - x - 1 2 x x 4

f ' x = 3 x 2 - 2 x - 1 x - x 3 - x 2 - x - 1 2 x 3

f ' x = 3 x 3 - 2 x 2 - x - 2 x 3 - 2 x 2 - 2 x - 2 x 3

Continuando, temos:

f ' x = 3 x 3 - 2 x 2 - x - 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 2 x 3

f ' x = x 3 + x + 2 x 3

Beleza, vamos ver quando que essa primeira derivada zera:

f ' x = x 3 + x + 2 x 3 = 0

x 3 + x + 2 = 0

Puts, e isso é uma função do terceiro grau né!? Por sorte dá pra gente só de olhar sacar que x = - 1 é uma raiz. Sendo assim, podemos fazer um Briot-Ruffini:

1 ∙ - 1 + 0 = - 1

- 1 ∙ - 1 + 1 = 2

2 ∙ - 1 + 2 = 0

Então estão aí os coeficientes do polinômio! Vamos ter que:

x 3 + x + 2 = 0

x + 1 x 2 - x + 2 = 0

Agora que temos um produto de polinômios, pra isso dar zero, a gente tem duas opções ó:

x - 1 = 0

x 2 - x + 2 = 0

No primeiro caso é tranquilo de ver que x = - 1 é uma resposta, agora pro segundo, a gente tem que fazer Bháskara! Seja então:

x 2 - x + 2 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

E fazendo:

x 1,2 = 1 ± 1 - 4 . 1.2 2 = - 1 ± 1 - 8 2   = - 1 ± - 7 2  

Opa, calma lá, raiz negativa? É galera, isso quer dizer que o polinômio não tem raiz real! Sendo assim o único jeito de...

x + 1 x 2 - x + 2 = 0

...ser verdade é se x = - 1 ! Agora vamos interpretar tudo que achamos. A primeira derivada da função é:

f ' x = x 3 + x + 2 x 3

E ela zera somente em x = - 1 . Pra saber então o sinal da primeira derivada vamos analisar ela em intervalos que envolvam esse ponto e o ponto x = 0 já que ele não está definido? Beleza? Os intervalos vão ser:

- ∞ , - 1

- 1,0

0 , + ∞

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = - 2 , pro segundo x = - 1 2 e pro terceiro x = 2 . Vamos ter:

f ' - 2 = - 2 3 + - 2 + 2 - 2 3 = 1 > 0

f ' 1 2 = - 1 2 3 + - 1 2 + 2 - 1 2 3 = - 11 < 0

f ' 2 = 2 3 + 2 + 2 2 3 = 3 2 > 0

Então a função é crescente em - ∞ , - 1 e 0 , + ∞ e decrescente em - 1,0

Passo 3

Tamos quase lá gente! Bora dar um gás! Falta análise de concavidade. Pra isso, bora usar a segunda derivada!

f ' ' x = x 3 + x + 2 x 3 '  

f ' ' x = x 3 + x + 2 ' x 3 - x 3 + x + 2 x 3 '   x 6

f ' ' x = 3 x 2 + 1 x 3 - x 3 + x + 2 3 x 2   x 6

f ' ' x = 3 x 5 + x 3 - 3 x 5 + 3 x 3 + 6 x 2 x 6

E continuando com a manipulação:

f ' ' x = 3 x 5 + x 3 - 3 x 5 - 3 x 3 - 6 x 2 x 6

f ' ' x = - 2 x 3 - 6 x 2 x 6

f ' ' x = - 2 x - 6 x 4

Opa! Ela zera então somente em x = - 3 , pois esse é o valor de x que zera o numerador. Pra saber então o sinal da segunda derivada vamos analisar ela em intervalos que envolvam esse ponto e o ponto x = 0 já que ele não está definido? Beleza? Os intervalos vão ser:

- ∞ , - 3

- 3,0

0 , + ∞

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = - 4 , pro segundo x = - 1 e pro terceiro x = 4 . Vamos ter:

f ' ' - 4 = - 2 - 4 - 6 - 4 4 = 1 128 > 0

f ' ' - 1 = - 2 - 1 - 6 - 1 4 = - 4 < 0

f ' ' 4 = - 2 4 - 6 4 4 = - 7 128 < 0

Maravilha, a concavidade vai ser pra baixo então em - 3,0 e 0 , + ∞ e pra cima em - ∞ , - 3

Passo 4

Juntando tudo que vimos, o melhor esboço então vai ser:

E a letra que tem I como resposta é a letra A ! Ufa, cabamos hahaha

Resposta

L e t r a   A

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