A respeito das seguintes funções

I.

II.

Determine:

a) Domínio;

b) Intersecções com os eixos (explicitar as raízes);

c) Assíntotas, caso existam;

d) Intervalos de crescimento ou decrescimento;

e) Pontos de máximo ou mínio locais e absolutos da função, e os respectivos valores da função nesses pontos;

f) Concavidade e ponto de inflexão;

g) Use as informações dos itens (a-f) para esboçar o gráfico da função.

Agora vamos verificar se apresenta assíntotas. Para isso, vamos lembrar um pouquinho das assíntotas oblíquas do tipo . O coeficiente angular é encontrada fazendo

Como o limite é finito, a função apresenta esse tipo de assíntota! Vale destacar que para obtemos o mesmo resultado:

Para achar o coeficiente linear , fazemos

O mesmo acontece para . Desta forma, tanto para como para , o gráfico de apresenta uma assíntota oblíqua cuja equação é

Vamos ver o que acontece quando . Pela direita, temos

Pela esquerda:

Vemos que a reta corresponde a uma assíntota vertical do gráfico da função!

Para analisar os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que derivar a função:

Os pontos críticos ocorrem quando :

Desta forma, podemos construir o varal:

Vemos que a função é crescente nos intervalos e , e decrescente nos intervalos e .

Como a função explode para (ver assíntotas), ela não apresenta máximos ou mínimos globais, mas pode apresentar locais!

Repare que em , a função cresce antes e decresce depois, correspondendo a um máximo local. Já em ocorre o inverso, correspondendo a um mínimo local. Observe que

Vamos olhar agora para a concavidade e, para isso, tomamos a segunda derivada:

Portanto, o sinal de controla o sinal de . Para , temos , de modo que nessa região a curva é concava para cima (feliz). Já para , temos com a concavidade sendo para baixo (triste). Observe que não existe ponto em que , de modo que a função não apresenta pontos de inflexão.

De posse de todas essas informações podemos esboçar o gráfico da função:

Em pontilhado desenhei a assíntota oblíqua . Observe os pontos de máximo e mínimo locais, intervalos de crescimento e decrescimento, bem como a concavidade em cada região. Note também que a curva não corta nenhum dos eixos.

Ufa, finalizamos a discussão da primeira função. Agora vamos partir para a segunda:

Como nunca se anula, não temos restrição nenhuma quanto aos valores que pode assumir, de modo que o domínio de é real:

Para achar a interseção com o eixo , fazemos :

Já para achar a interseção com o eixo (raiz):

Além disso,

Isso significa que as assíntotas no infinito são horizontais, mais precisamente a reta

Agora derivamos usando a regra do quociente:

Os pontos críticos ocorrem quando :

Logo, temos dois pontos críticos:

Considerando que , o sinal de é determinado pelo numerador , que corresponde a uma função do segundo grau. Com isso, é fácil fazer o varal:

A função é decrescente nos intervalos e , e crescente no intervalo .

Como a função tende a quando , os pontos de máximo e mínimo locais correspondem aos máximo e mínimo globais! O máximo ocorre em

Já o mínimo:

Estamos quase terminando, falta só olhar para a segunda derivada:

Logo,

O denominador é sempre positivo de modo que o denominador controla o sinal da função! A seguir faço um varal considerando as raízes do polinômio:

Eu usei uma calculadora gráfica para achar as raízes do polinômio já que isso não é uma tarefa tão trivial de ser feita a mão. Vale lembrar que essa prova foi feita à distância num contexto de pandemia, então esses recursos estavam disponíveis! Numa prova presencial isso seria impraticável.

Agora só resta fazer o esboço do gráfico e fechamos o problema: