Considere as afirmações abaixo:
(I) Seja uma combinação linear de vetores do com coeficientes todos não nulos. Então cada vetor é combinação linear dos demais vetores do conjunto
(II) Seja A uma matriz na forma escalonada. Então uma coluna que não contém pivô é combinação linear das colunas a sua esquerda.
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) A combinação linear dada foi:
Podemos reescrevê-la para um dado vetor da seguinte forma:
Logo:
Então qualquer vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos demais vetores desse conjunto.
A afirmação (I) é verdadeira.
Passo 2
(II) Sabemos que quando aplicamos a eliminação de Gauss nas linhas e uma das linhas zera, é porque ela é combinação linear das linhas que estão acima dela, certo?
Algo parecido acontece quando estamos escalonando em colunas!
Uma coluna que não contém pivô é uma coluna nula.
Essa coluna vai ser combinação linear das colunas que vem antes dela.
A afirmação (II) é verdadeira.
Resposta
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.