UTFPR, Sem Campus, Geometria Analítica e Álgebra Linear, 1° Teste - 2018.1, Questão 1c
Considere o sistema linear
c) Determine , e de maneira que seja solução do sistema, mas não seja a única.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu um sistema de equações e pediu pra gente determinar os valores de , e de maneira que o vetor seja solução do sistema, mas não seja a única solução.
Lembra que um sistema pode ter uma, nenhuma ou infinitas soluções? No nosso caso, o nosso sistema precisa ser possível e indeterminado, ou seja, ele precisa ter infinitas soluções, beleza? Então, a gente precisa encontrar um conjunto de soluções.
Vamos escrever nosso sistema:
O primeiro passo é escrever esse sisteminha em forma de matriz ampliada:
Então, o que nós vamos fazer é escalonar esse sistema pra encontrar uma solução geral.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar a escalonar nossa matriz, multiplicando a primeira linha por e somando com a linha :
Agora vamos somar a linha coma linha :
Multiplicando agora a segunda linha por e somando com a última linha, temos:
Somando a segunda linha com a terceira linha:
Por fim, vamos multiplicar a terceira linha por e subtrair da última linha:
Passo 3
Beleza, já temos nossa matriz escalonada. Agora podemos olhar para o sistema equivalente (que resultou do escalonamento) e verificar os valores de .
Olhando pra primeira linha da nossa matriz, temos:
Isolando :
Agora vamos pegar a segunda linha do sistema:
Isolando :
Pra definir todo mundo em termos de uma única variável, vamos substituir na equação de :
Agora podemos definir um conjunto solução da forma:
Observe que, dessa forma, também é solução do sistema, mas não a única. Fazendo encontramos (como no item b) os valores:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉