UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022.2; Questão 14
Sejam matrizes . Considere as afirmativas abaixo:
1- Se tem infinitas soluções, então tem infinitas soluções
2- Se tem solução, então podemos garantir que tem solução para todo .
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez queremos verificar qual das afirmações são verdadeiras.
Bem, vamos começar com a primeira afirmação
Se tem infinitas soluções, então tem infinitas soluções
E aí, o que vocês acham? Ora vamos pegar dois vetores quaisquer e diferentes tais que
Logo, temos que
Usando a linearidade do produto matricial
Ou seja, temos uma solução não trivial para o caso
E como são quaisquer. Temos que se tem infinitas soluções, então tem infinitas soluções.
Logo a primeira afirmação é verdadeira
Passo 2
Agora, vamos para a segunda afirmação. Ela diz que Se tem solução, então podemos garantir que tem solução para todo .
E aí, será que é verdade? Bem Suponha que é a matriz com todas suas entradas nulas, então claramente tem solução. Mas não terá solução pois para todo . Logo a segunda afirmação é falsa.
Logo, a alternativa correta é a letra
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊