Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

O que NÃO podemos afirmar sobre o escalonamento de matrizes reais:

a   As linhas não nulas da forma escalonada de uma matriz formam um conjunto linearmente independente ( L I )

b   Na forma escalonada de uma matriz qualquer, o número de colunas linearmente independentes ( L I ) é igual ao de linhas linearmente independentes ( L I )

c   Ao escalonar uma matriz m × n , com m > n , sempre vamos obter pelo menos m - n linhas nulas

d   Se duas matrizes A e B têm a mesma matriz na forma escalonada, então necessariamente A = B

Passo 1

a Essa sabemos que é verdade né? Inclusive essa é uma forma que usamos para descobrir quantos vetores L I temos em um conjunto! Jogamos eles nas linhas e escalonamos. Então essa é verdadeira.

Passo 2

b Essa também já sabemos que é verdadeira. O número de colunas linearmente independentes ( L I ) é igual ao de linhas linearmente independentes ( L I ) para qualquer matriz, na forma escalonada ou não.

Passo 3

c Vamos usar o fato de que o número de colunas linearmente independentes é igual ao de linhas linearmente independentes pra resolver essa. Temos m linhas e n colunas, com m > n .

Beleza, como o número de colunas é menor que o de linhas então ele é nosso limitante. Por exemplo, não poderíamos ter m linhas L I pois teríamos de ter m colunas L I também, mas o número de colunas é menor que m !

Isso quer dizer que nosso número de linhas e colunas L I é no máximo n ! E sabemos que ao escalonarmos uma matriz, o número de linhas não nulas é o número de linhas L I que temos! Então:

n °   d e   l i n h a s   n a ~ o   n u l a s ≤ n

Ih, mas a alternativa fala do número de linhas nulas! Sem problemas, o número de linhas nulas será o número total de linhas menos o número de linhas não nulas:

n °   d e   l i n h a s   n u l a s = m - n º   d e   l i n h a s   n a ~ o   n u l a s

Então:

n °   d e   l i n h a s   n a ~ o   n u l a s ≤ n

- n °   d e   l i n h a s   n a ~ o   n u l a s ≥ - n

m - n º   d e   l i n h a s   n a ~ o   n u l a s ≥ m - n

n °   d e   l i n h a s   n u l a s ≥ m - n

Então realmente o número de linhas nulas é pelo menos m - n .

Passo 4

d Beleza, essa é a última que sobrou então essa é a errada! Mas vamos ver porque. Bom, ta dizendo que só porque duas matrizes têm a mesma matriz na forma escalonada, então necessariamente elas são iguas. Bom, vou te mostrar que não é verdade:

A = 1 0 1 2 → L 2 ← L 2 - L 1 1 0 0 2

B = 1 0 2 2 → L 2 ← L 2 - 2 L 1 1 0 0 2

Como podemos ver elas possuem a mesma forma escalonada, no entanto A ≠ B .

Resposta

Letra ( d ) .

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Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: