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O que NÃO podemos afirmar sobre o escalonamento de matrizes reais:
As linhas não nulas da forma escalonada de uma matriz formam um conjunto linearmente independente
Na forma escalonada de uma matriz qualquer, o número de colunas linearmente independentes é igual ao de linhas linearmente independentes
Ao escalonar uma matriz , com , sempre vamos obter pelo menos linhas nulas
Se duas matrizes e têm a mesma matriz na forma escalonada, então necessariamente
Passo 1
Essa sabemos que é verdade né? Inclusive essa é uma forma que usamos para descobrir quantos vetores temos em um conjunto! Jogamos eles nas linhas e escalonamos. Então essa é verdadeira.
Passo 2
Essa também já sabemos que é verdadeira. O número de colunas linearmente independentes é igual ao de linhas linearmente independentes para qualquer matriz, na forma escalonada ou não.
Passo 3
Vamos usar o fato de que o número de colunas linearmente independentes é igual ao de linhas linearmente independentes pra resolver essa. Temos linhas e colunas, com .
Beleza, como o número de colunas é menor que o de linhas então ele é nosso limitante. Por exemplo, não poderíamos ter linhas pois teríamos de ter colunas também, mas o número de colunas é menor que !
Isso quer dizer que nosso número de linhas e colunas é no máximo ! E sabemos que ao escalonarmos uma matriz, o número de linhas não nulas é o número de linhas que temos! Então:
Ih, mas a alternativa fala do número de linhas nulas! Sem problemas, o número de linhas nulas será o número total de linhas menos o número de linhas não nulas:
Então:
Então realmente o número de linhas nulas é pelo menos .
Passo 4
Beleza, essa é a última que sobrou então essa é a errada! Mas vamos ver porque. Bom, ta dizendo que só porque duas matrizes têm a mesma matriz na forma escalonada, então necessariamente elas são iguas. Bom, vou te mostrar que não é verdade:
Como podemos ver elas possuem a mesma forma escalonada, no entanto .
Resposta
Letra .