Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

A é uma matriz qualquer. Escalonando-se A, aparece uma linha de zeros. Considere as afirmações abaixo:

(I) Pode-se concluir que o conjunto das colunas de A é linearmente dependente.

(II) Pode-se concluir que o conjunto das linhas de A é linearmente dependente.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

Quando escalonamos a matriz A e uma das linhas zera, significa que ela é combinação linear das demais.

Então o conjunto formado pelas linhas é um conjunto LD, e a afirmação (II) é verdadeira.

Mas o fato de uma linha zerar não significa que o conjunto das colunas de A seja LD.

Se quiséssemos afirmar alguma coisa sobre isso, deveríamos colocar os vetores das colunas em linhas (transpor a matriz) e então escalonar.

Aí sim: se alguma linha zerasse, ela seria combinação linear das demais e o conjunto das colunas seria LD.

Logo, não podemos afirmar nada sobre o conjunto das colunas, e a afirmação (I) é falsa.

Resposta

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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