USP, Probabilidade, P3-2019.2, Teste 1
01) Um sistema possui componentes independentes que possuem tempo de vida distribuído exponencialmente com parâmetro . Para o sistema falhar, os dois primeiros devem falhar ou o terceiro deve falhar, já que os dois primeiros estão associados em paralelo e este conjunto está em série com o terceiro. A probabilidade do sistema durar mais do que é dada por:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Fala Aí gente!
Aqui temos uma questão top de distribuição exponencial que acho que vai ajudar bastante no entendimento melhor desse assunto.
Basicamente, temos três componentes elétricos que possuem o tempo de vida regido por uma distribuição exponencial com parâmetro . Daí, a gente quer saber a probabilidade do sistema inteiro durar mais do que um tempo , sabendo que esse sistema só falha devido a ocorrência de dois casos:
1) Os dois primeiros componentes falharem juntos
2) O terceiro componente falhar
Então beleza, mas vocês lembram como é a distribuição exponencial?
A distribuição exponencial modela probabilidades que vão decaindo com o decorrer de alguma grandeza (geralmente é o tempo mesmo). A função de densidade de probabilidade vale:
Além disso, possui:
Ainda tem mais uma coisinha que é bom a gente saber, mas que também dá pra desenvolver a partir da função de densidade. É a função de distribuição acumulada (FDA), . Em V.A contínuas são as FDA’s que nos dão as probabilidades, e elas podem ser obtidas por integração de . Daí:
Excelente! Agora já sabemos tudo o que é necessário (e um pouquinho mais haha) pra fazer essa questão.
Passo 2
Então gente, nós falamos antes sobre as duas situações que podem fazer o sistema falhar. Basta que uma delas ocorra para que venha a falha.
Daí, pensa comigo, se eu não quero que o sistema falhe em um tempo , eu preciso garantir que nenhuma das duas condições irá ocorrer para . Concorda?
Certo. Isso quer dizer que precisam ocorrer dois eventos:
1) Pelo menos um dos componentes em paralelo permanecer funcionando;
2) O componente em série permanecer funcionando.
Massa! Bora então calcular a probabilidade de cada um desses eventos acontecerem, mas para fazer isso é bem útil a gente já conhecer a probabilidade de um componente falhar em .
Como cada componente obedece à distribuição exponencial, a probabilidade de que ele pare de funcionar em é de:
Logo, pelo que vimos lá no início da Função de distribuição acumulada, vale que:
Prontinho!
Passo 3
Beleza, vamos agora calcular a probabilidade dos eventos e acontecerem. Começando pelo evento .
Se queremos que pelo menos um dos componentes esteja funcionando, podemos calcular a probabilidade usando aquela ideia de complementaridade, lembra?
A probabilidade de pelo menos um dos componentes em paralelo permanecer funcionando vale:
Onde é a probabilidade dos dois componentes em paralelo falharem. Só que calcular é bem mais tranquilo, pois basta multiplicarmos as probabilidades de cada um dos componentes falharem (viu como foi bom ter calculado isso antes?). Assim:
Daí:
Excelente! O primeiro evento já foi. Agora bora pro segundo!
Queremos calcular a probabilidade do terceiro componente não falhar em .
Novamente, podemos usar a nossa ideia da complementaridade. Daí, a probabilidade do componente não falhar é justamente:
Já tá acabandooo! Segura mais um pouco hahaha.
Agora que já temos e , a probabilidade dos dois eventos ocorrerem simultaneamente é justamente o produto dessas probabilidades. Assim:
E fimmm!! Essa é a resposta. Mesmo que pareça difícil, o mais importante é pensar com calma o que está acontecendo e estabelecer a estratégia da questão.
Espero que vocês tenham entendido. Até a próxima galera 😉
Resposta
Letra A: