P1-2017/1 UFRJ Questão 1
Três atiradores, Alberto, Bernardo e Carlos, atiram independentemente uma vez num alvo. Sabe-se que as probabilidades de acertar o alvo são 2/3 para Alberto, 3/4 para Bernardo e 1/2 para Carlos. Calcule a probabilidade
a) de que o alvo seja atingido;
b) de que somento um dos três acerte o alvo;
c) de no máximo um dos três acertar o alvo;
d) condicional de Alberto ter acertado dado que o alvo foi atingido por no máximo um dos três atiradores.
Passo 1
Como em todo bom problema de probest, precisamos ler direitinho o enunciado, e entender o que o cara tá pedindo pra gente.
Ele fala sobre três atiradores, fala que eles atiram independentemente, e dá a probabilidade de cada um deles acertar o tiro. Depois disso, nas letras ele pede várias probabilidades, e em todas elas ele relaciona os caras acertarem ou não o alvo.
Dessa forma, vamos criar quatro eventos logo de cara:
Passo 2
a) Calcule a probabilidade de que o alvo seja atingido;
Aqui ele pede pra gente calcular a prob. do alvo ser atingido. Concorda comigo que aqui eu posso fazer pelo complementar? Posso fazer . E quem seria essa probabilidade de ninguém acertar?
Ou seja, Alberto não acertar o alvo e Bernardo não acertar o alvo e Carlos não acertar o alvo. Sempre que temos o conectivo e usamos a interseção. E essas probabilidades eu já tenho!
Dessa forma, temos que
Passo 3
b) Calcule a probabilidade de que somento um dos três acerte o alvo;
Vou chamar aqui
E concorda comigo que então que
Ou seja, ou somente Carlos acerta o alvo e os outros dois erram, ou somente Bernardo acerta ou só Alberto acerta. Por conta desse conectivo ou, eu vou somando as probabilidades.
Substituindo os valores, temos que:
Passo 4
c) Calcule a probabilidade de no máximo um dos três acertar o alvo;
Aqui vou chamar
Aqui precisamos considerar a probabilidade de ninguém acertar o alvo, daí teríamos:
E a ideia é exatamente a mesma da letra b.
Substituindo os valores:
Passo 5
d) Calcule a probabilidade condicional de Alberto ter acertado dado que o alvo foi atingido por no máximo um dos três atiradores.
Ele tá pedindo basicamente:
Ou seja, a probabilidade de Alberto ter acertado, dado que o alvo foi atingido por no máximo um dos três atiradores.
Pela fórmula da condicional, temos que:
Substituindo os valores:
Resposta
a) 0,958
b) 0,25
c) 0,292
d) 0,286