USP, Probabilidade, P2-2019.2, Teste 11
11) Sejam e duas variáveis aleatórias com valores inteiros. Sabe-se que são possíveis apenas os pares no conjunto além disso, todos os pares nesse conjunto são equiprováveis. Calcule , o valor esperado de usando a distribuição de probabilidade condicional de dado {X=1}. A resposta correta é:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Faaaala galerinha, tudo bom com vocês?
Nesse exercício temos uma situação bem interessante. Duas variáveis aleatórias, e , que assumem apenas valores inteiros, pertencem ao conjunto . O que a questão pede é o valor esperado de dado que ou seja, .
Beleza, mas e como é que a gente calcula essa esperança condicional?
Então, a ideia é bem semelhante com o que fazemos no caso mais comum. Quando não tem nada de probabilidade condicional, é só dizer que:
Como, nessa questão, queremos o valor esperado da probabilidade condicional de , devemos fazer:
Massa! Nossa missão inicial vai ser descobrir quanto que valem essas probabilidades.
Passo 2
Eaí, tá todo mundo lembrado da fórmula da probabilidade condicional?
Bom, como os pares pertencem ao conjunto , vamos analisar os possíveis valores que podem assumir.
Se , então:
Logo, . Daí, temos o nosso primeiro par:
Se , então:
Logo, pode assumir três valores inteiros: ou . Daí, temos mais três pares possíveis:
Beleza. Bora pro último caso!
Se , então:
Logo, . Daí, temos o último par:
Show galera, descobrimos o nosso espaço amostral, ou seja, todas as possibilidades possíveis para os pares .
Porém, a probabilidade que estamos buscando é dado . Assim, dentre todos os pares encontrados, quais aqueles que também obedecem a essa condição?
Então, tem apenas uma possibilidade. E qual a probabilidade dela ocorrer, dado que ?
Pô, como tem apenas uma possibilidade essa probabilidade deve valer 1. Mas, dá pra verificar isso pela nossa fórmula também, olha:
Muito bom!!
Passo 3
Agora, já finalizando, vamos usar a nossa expressão para o valor esperado de e calcular .
Como, dado , há apenas um par dentro do conjunto A, vamos ter que:
Logo:
Prontinho galera! Espero que vocês tenham entendido bem.
Até a próxima 😊
Resposta
Letra E: