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Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

USP probabilidade e estatística probabilidade PSUB 2017

Passo 1

Fala galera. Tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Temos três conjuntos A ,   B ,   C     e as seguintes probabilidades

  • P A = P C = 1 / 2
  • P B C = 1 / 3
  • P B C c = 3 / 4
  • P A B ∩ C = 2 P A B ∩ C c

Queremos calcular P A ∩ B ∩ C  

Para essa questão vamos revisar alguns conceitos de probabilidade condicional que serão necessários para calcular P A ∩ B ∩ C  

Passo 2

Vamos, primeiro, relembrar a definição de probabilidade condicional.

P A B   =   P A ∩ B P B   (1)

Dessa equação temos que

P A B P A   =   P A ∩ B   (2)

Lembramos aqui que um conjunto a probabilidade de um conjunto pode ser expressa como a soma de probabilidades condicionais. Podemos calcular

P A   =   P A B P B   + P A B c P B c   (3)

(chamada de Lei da probabilidade Total)

Passo 3

Agora que revisamos algumas das propriedades de probabilidade de condicional, vamos revisar as informações da questão:

  • P A = P C = 1 / 2
  • P B C = 1 / 3
  • P B C c = 3 / 4
  • P A B ∩ C = 2 P A B ∩ C c

Qual é a P B ∩ C ?

Usando (2) temos que

P B ∩ C   =   P B C ⋅ P C

(por (2))

P B C ⋅ P C = 1 3 ⋅ 1 2

= 1 6

Com isso, podemos calcular a P A B ∩ C . Usando (3)

P A   =   P A B ∩ C P B ∩ C   +   P A B ∩ C c P B ∩ C c

(fazendo x   =   P A B ∩ C )

P A   =   x ⋅ 1 6   +   x 2 1 - 1 6

(substituindo P A )

1 2   =   x ⋅ 1 6   +   x 2 1 - 1 6

⇒   1 2   =   x ⋅ 1 6   +   x 2 5 6

⇒   1 2   =   7 x 12

⇒   x   =   6 7

Com isso temos que P A B ∩ C   =   6 7

Passo 4

Agora que calculamos P A B ∩ C podemos calcular P A ∩ B ∩ C  

P A ∩ B ∩ C   =   P A B ∩ C ⋅ P B ∩ C

(por (2))

P A B ∩ C ⋅ P B ∩ C   =   6 7 ⋅ 1 6  

⇒ P A ∩ B ∩ C =   1 7  

Resposta

1 7  

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