Uma urna originalmente contém sete bolas brancas e cinco bolas pretas. Então uma das bolas, de cor desconhecida, some da urna. Se depois disso eu retiro outra bola da urna, e ela é de cor branca, a probabilidade de a bola que sumiu também ser de cor branca é:

Então pessoal, queremos calcular , mas seria interessante se existisse uma forma de relacionar essa probabilidade com a probabilidade , já que essa é mais simples de calcular. E aí, será que tem como?

Podemos usar o Teorema de Bayes!!!. O teorema diz o seguinte:

Dessa forma obtemos a seguinte relação:

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades!!!!

No passo anterior, chegamos a conclusão que

Vamos calcular cada probabilidade.

Começando pelo numerador

é a probabilidade de retirarmos uma segunda bola branca dado que já retiramos 1 bola branca.

No começo temos bolas sendo brancas, retiramos branca. Então temos bolas sendo brancas. Dessa forma, a probabilidade de retirarmos uma bola branca dessa nova coleção de bolas é

Então temos que

Agora vamos para

pois temos bolas brancas e na caixa tem bolas.

No passo anterior calculamos . Agora, para finalizar, vamos calcular .

Quem será essa probabilidade? Vamos pensar nos casos em que a segunda bola é branca.

Podemos obter uma segunda bola branca de duas maneiras. Podemos retirar duas brancas, ou uma preta e uma branca. Então

Substituindo os valores no teorema de Bayes obtemos

Prontinho, pessoal. Conseguimos terminar mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão, bons estudos!!!