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Exercícios Resolvidos de Força de Atrito

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Enunciado

Um plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal tem uma mola de constante elástica k no seu ponto mais baixo. Um bloco de massa M é liberado próximo ao topo do plano inclinado e se move para baixo comprimindo a mola em ∆ x em relação ao seu tamanho relaxado. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície do plano inclinado é μ e .

  1. Calcule a energia dissipada pela força de atrito como funções das variáveis dadas no enunciado.
  2. Encontre uma relação entre a compressão da mola ∆ x e a altura H do ponto de onde o bloco é liberado.

Passo 1

Acho que primeiro temos que começar montando um desenho neh? Só assim a gente vei ter uma noção do que fazer mais ampla .

Já aproveitei e inseri aí as forças que estão atuando no bloco nesse momento e P é o peso dele, F a é à força de atrito e N é a força normal do chão ao bloco.

Passo 2

L e t r a   A

POW! Força de atrito pode ser sempre calculada como...

F a = N ⋅ μ e

Nesse caso, só temos que encontrar a força normal! Por trigonometria, repare que...

Então, podemos dizer que...

N = P cos ⁡ θ

Então a força de atrito fica...

F a = P cos ⁡ θ ⋅ μ e

Só que e o peso? ORA! Peso é massa vezes a gravidade...

F a = M g μ e cos ⁡ θ

Beleza! Mas como que a gente pode encontrar uma expressão para a energia dissipada pela força de atrito?

Passo 3

Bem, se tivéssemos informação do comprimento d da rampa, podíamos usar a expressão do trabalho, pois a energia dissipada seria...

E d = F a d

Mas sabemos que a rampa tem altura H , pois foi dado no item b ...

Por trigonometria com o triângulo grande...

H d = sin ⁡ θ   →

d = H sin ⁡ θ

Então a energia dissipada na rampa em função dos dados será...

E d = F a H sin ⁡ θ   →

E d = M g μ e cos ⁡ θ H sin ⁡ θ   →

E d = M g H μ e cot ⁡ θ

Passo 4

Cara, pensa no seguinte. No início. Quando a mola foi posta no topo, ela só tinha energia potencial E p . Ela começou a deslizar e transformou essa energia potencial em cinética E k e energia térmica (energia dissipada pela força de atrito)...

E p = k + E d

Mas então, ao chegar na mora, a energia que cinética, foi transformada em energia potencial Elástica...

E p = E e l + E d

A energia potencial elástica, de acordo com a teoria é...

E e l = 1 2 k ∆ x 2

E a energia potencial gravitacional é E p = M g H ...

M g H = 1 2 k ∆ x 2 + M g H μ e cot ⁡ θ

Dividindo todo mundo por M g então...

H = 1 2 M g k ∆ x 2 + H μ e cot ⁡ θ

Passando essa expressão pro outro lado...

H - H μ e cot ⁡ θ = 1 2 M g k ∆ x 2     →

H 1 - μ e cot ⁡ θ = 1 2 M g k ∆ x 2     →

Então...

H = k 2 M g 1 - μ e cot ⁡ θ ∆ x 2

Prontinho! Essa é a relação de H com ∆ x . Podemos isolar em termos do ∆ x ...

2 M g 1 - μ e cot ⁡ θ k   H = ∆ x 2     →

∆ x = 2 M g 1 - μ e cot ⁡ θ k   H

Varia com a raiz de H

Resposta

Letra A:

E d = M g H μ e cot ⁡ θ

Letra B:

∆ x = 2 M g 1 - μ e cot ⁡ θ k   H

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